Як визначити центр ваги перерізу.

В повсякденному сенсі центр ваги сприймають як точку, до якої можна прикласти рівнодіючу всіх сил, що діють на тіло. Найпростіший приклад - це дитячі гойдалки у вигляді звичайної дошки. Без всяких обчислень будь-яка дитина підбере опору дошки так, щоб врівноважити (а може, й переважити) на гойдалках важкого чоловіка. У разі складних тіл і перетинів без точних розрахунків і відповідних формул не обійтися. Навіть якщо виходять громіздкі вирази, головне - не лякатися їх, а пам'ятати, що початково мова йде про практично елементарної задачі.
Інструкція
1
Розгляньте найпростіший важіль (див. Рис 1), що знаходиться в положенні рівноваги. Розташуйте точку опори на горизонтальній осі з абсцисою х і помістіть на краях матеріальні точки мас m? і m ?. Вважайте їх координати по осі 0х відомими і рівними х? і х ?. Важіль знаходиться в положенні рівноваги, якщо моменти сил ваги Р? = M? G і P? = M? G рівні. Момент дорівнює добутку сили на її плече, яке можна знайти як довжину перпендикуляра опущеного з точки прикладання сили на вертикаль х = х . Тому, відповідно до малюнком 1, m? G = m? G , = х - х ?, = х? -х . Тоді m? (Х - х?) = M? (Х? -х ). Вирішіть це рівняння і отримаєте х = (m? X? + M? X?)/(M? + M?).
2
Для з'ясування ординати центра ваги y застосуєте ті ж самі міркування і викладки, як і на кроці 1. Як і раніше дотримуйтесь ілюстрації, наведеної на малюнку 1, де m? gh? = m? gh ?, h? = y - y ?, h? = y ? -y . Тоді m? (Y - y?) = M? (Y? -y ). Результат - у = (m? У? + M? У?)/(M? + M?). Далі вважайте, що замість системи з двох точок є одна точка М (x12, У12) загальної маси (m? + M?).
3
До системи з двох точок додайте ще одну масу (m?) З координатами (х ?, у?). При обчисленні слід як і раніше вважати, що маєте справу з двома точками, де друга з них має масу (m? + M?) І координати (x12, У12). Повторюючи вже для цих двох точок всі дії кроків 1 і 2, прийдете до координат центру ваги системи трьох точок x ? = (m? X? + M? X? + M? X?)/(M? + M? + m?), у ? = (m? у? + m? у? + m? y?)/(m? + m? + m?). Далі додавайте четверту, п'яту і так далі точки. Після багаторазового повторення все тієї ж процедури переконайтеся, що для системи n точок координати центру ваги обчислюються за формулою (див. Рис. 2). Відзначте для себе той факт, що в процесі роботи прискорення вільного падіння g скорочувалася. Тому координати центру мас і тяжкості збігаються.
4
Уявіть собі, що в перерізі розташована деяка область D, поверхнева щільність якої? = 1. Зверху і знизу фігура обмежена графіками кривих у =? (Х) і у =? (Х), х є [а, b]. Розбийте область D вертикалями x = x? I-1 ?, x = x? I? (I = 1,2, ..., n) на тонкі смужки, такі, що їх можна приблизно вважати прямокутниками з підставами? Хi (див. Рис. 3). При цьому середину відрізка? Хi вважайте покладіть збігається з абсцисою центру мас? I = (1/2) [xi + x (i-1)]. Висоту прямокутника вважайте приблизно рівною [? (? I) -? (? I)]. Тоді ордината центру мас елементарної площі? I = (1/2) [? (? I) +? (? I)].
5
В силу рівномірного розподілу щільності вважайте, що центр мас смужки співпаде з її геометричним центром. Відповідна елементарна маса? Mi =? [? (? I) -? (? I)]? Хi = [? (? I) -? (? I)]? Хi зосереджена в точці (? I,? I). Настав момент зворотного переходу від маси, представленої в дискретної формі, до безперервної. Відповідно до формулами обчислення координат (див. Рис. 2) центру ваги утворюються інтегральні суми, проілюстровані на малюнку 4а. При граничному переході при? Xi? 0 (? I? Xi) від сум до певних интегралам, отримаєте остаточну відповідь (рис. 4b). У відповіді маса відсутня. Рівність S = M слід розуміти лише як кількісне. Розмірності тут відмінні один від одного.
В однорідному гравітаційному полі центр ваги збігається з центром мас. В геометрії поняття «центр ваги» і «центр мас» також еквівалентні, оскільки існування гравітаційного поля не розглядається. Центр мас називається ще центром інерції і БАРИЦЕНТР (від грец. Barus? Важкий, kentron? Центр). Він характеризує рух тіла або системи частинок. Так, при вільному падінні тіло обертається навколо свого центру інерції.
Інструкція
1
Нехай система складається з двох однакових точок. Тоді центр ваги, очевидно, розташовується посередині між ними. Якщо точки з координатами x1 і x2 мають різні маси m1 і m2, то координата центру мас x (c) = (m1 · x1 + m2 · x2)/(m1 + m2). Залежно від обраного «нуля» системи відліку, координати можуть бути і негативними.
2
Точки на площині мають дві координати: x і y. При завданні у просторі додається ще третя координата z. Щоб не розписувати кожну координату окремо, зручно розглядати радіус-вектор точки: r = x · i + y · j + z · k, де i, j, k? орти координатних осей.
3
Нехай тепер система складається з трьох точок з масами m1, m2 і m3. Їх радіус-вектори, відповідно, r1, r2 і r3. Тоді радіус-вектор їх центру ваги r (c) = (m1 · r1 + m2 · r2 + m3 · r3)/(m1 + m2 + m3).
4
Якщо система складається з довільного числа точок, тоді радіус-вектор, за визначенням, знаходиться за формулою: r (c) =? M (i) · r (i)/? m (i). Підсумовування проводиться по індексу i (записується знизу від знака суми?). Тут m (i)? маса деякого i-го елемента системи, r (i)? його радіус-вектор.
5
Якщо тіло однорідне за масою, сума переходить в інтеграл. Розбийте подумки тіло на нескінченно маленькі шматочки масою dm. Оскільки тіло однорідне, масу кожного шматочка можна записати як dm =? · DV, де dV? елементарний об'єм цього шматочка,? ? щільність (однакова по всьому об'єму однорідного тіла).
6
Інтегральне підсумовування маси всіх шматочків дасть масу всього тіла:? M (i) =? Dm = M. Отже, виходить r (c) = 1/M · · dV · dr. Щільність, постійну величину, можна винести з-під знака інтеграла: r (c) =?/M ·? DV · dr. Для безпосереднього інтегрування знадобиться встановити конкретну функцію між dV і dr, яка залежить від параметрів фігури.
7
Наприклад, центр ваги відрізка (довгого однорідного стержня) знаходиться посередині. Центр мас сфери і кулі розташовується в центрі. Баріцентр конуса знаходиться на чверті висоти осьового відрізка, рахуючи від основи.
8
БАРИЦЕНТР деяких простих фігур на площині легко визначити геометрично. Наприклад, для плоского трикутника це буде точка перетину медіан. Для паралелограма? точка перетину діагоналей.
9
Центр ваги фігури можна визначити і дослідним шляхом. Виріжте з листа щільного паперу або картону будь-яку фігуру (наприклад, той же трикутник). Спробуйте встановити її на кінчику вертикально витягнутого пальця. Те місце на фігурі, для якого вийде це зробити, і буде центром інерції тіла.