Як знайти найбільше найменше значення функції. Найбільше і найменше значення функції.

Видатний німецький математик Карл Вейерштрасс довів, що для кожної неперервної на відрізку функції існують її найбільше і найменше значення на цьому відрізку. Завдання визначення найбільшого і найменшого значення функції має широке прикладне значення в економіці, математиці, фізиці та інших науках.
Вам знадобиться
  • чистий аркуш паперу; ручка або олівець; підручник з вищої математики.
Інструкція
1
Нехай функція f (x) неперервна і визначена на заданому відрізку [a; b] і має на ньому деякий (кінцеве) кількість критичних точок. Першим ділом знайдемо похідну функції f '(x) по х.
2
Прирівнюємо похідну функції до нуля, щоб визначити критичні точки функції. Не забуваємо визначити точки, в яких похідна не існує - вони також є критичними.
3
З безлічі знайдених критичних точок вибираємо ті, які належать відрізку [a; b]. Обчислюємо значення функції f (x) в цих точках і на кінцях відрізка.
4
З безлічі знайдених значень функції вибираємо максимальне і мінімальне значення. Це і є шукані найбільше і найменше значення функції на відрізку.
Відео по темі
 http://www.youtube.com/watch?v=B1fdc5f6xfo
Дослідження такого об'єкта математичного аналізу як функція має велике значення і в інших областях науки. Наприклад, в економічному аналізі постійно потрібно оцінити поведінку функції прибутку, а саме визначити її найбільшу значення і розробити стратегію його досягнення.
Інструкція
1
Дослідження поведінки будь функції завжди слід починати з пошуку області визначення. Зазвичай за умовою конкретної задачі потрібно визначити найбільшу значення функції або на всій цій області, або на конкретному її інтервалі з відкритими або закритими кордонами.
2
Виходячи з назви, найбільшим є таке значення функції y (x0), при якому для будь-якої точки області визначення виконується нерівність y (x0)? y (x) (х? x0). Графічно ця точка буде найвищою, якщо розташувати значення аргументу по осі абсцис, а саму функцію по осі ординат.
3
Щоб визначити найбільшу значення функції, дотримуйтесь алгоритму з трьох етапів. Врахуйте, що ви повинні вміти працювати з односторонніми і нескінченними межами, а також обчислювати похідну. Отже, нехай задана деяка функція y (x) і потрібно знайти її найбільше значення на деякому інтервалі з граничними значеннями А і В.
4
З'ясуйте, чи входить цей інтервал в область визначення функції. Для цього необхідно її знайти, розглянувши всі можливі обмеження: присутність в вираженні дроби, логарифма, квадратного кореня і т.д. Область визначення - це безліч значень аргументу, при яких функція має сенс. Визначте, чи є даний інтервал його підмножиною. Якщо так, то переходите до наступного етапу.
5
Знайдіть похідну функції і вирішіть отримане рівняння, прирівнявши похідну до нуля. Таким чином, ви отримаєте значення так званих стаціонарних точок. Оцініть, належить чи хоч одна з них інтервалу А, В.
6
Розгляньте на третьому етапі ці точки, підставте їх значення в функцію. Залежно від типу інтервалу зробіть наступні додаткові дії. При наявності відрізка виду [А, В] граничні точки входять в інтервал, про це говорять квадратні дужки. Обчисліть значення функції при х = А і х = В. Якщо відкритий інтервал (А, В), граничні значення є виколотими, тобто не входять до нього. Вирішіть односторонні межі для х? А і х? В. Комбінований інтервал виду [А, В) або (А, В], одна з меж якого належить йому, інша - ні. Знайдіть односторонній межа при х, що прямує до виколоти значенням, а інше підставте в функцію. Нескінченний двосторонній інтервал (- ?, +?) або односторонні нескінченні проміжки виду: [A, +?), (A, +?), (- ?; B], (- ?, B). Для дійсних меж А і В дійте згідно вже описаним принципам, а для нескінченних шукайте межі для х? -? й х? +? відповідно.
7
Завдання на цьому етапі полягає в тому, щоб зрозуміти, чи відповідає стаціонарна точка найбільшим значенням функції. Це так, якщо вона перевищує значення, отримані описаними способами. У разі, якщо задано декілька інтервалів, стаціонарне значення враховується тільки в тому з них, який його перекриває. Інакше розраховуйте найбільшу значення по граничним точкам інтервалу. Те ж робіть в ситуації, коли стаціонарних точок попросту немає.
Зверніть увагу
Може вийти так, що односторонній межа прийме нескінченне значення. Тоді однозначно визначити найбільше значення можна, можна лише виявити максимальне значення (екстремум), до якого функція прагне.