Як визначити обсяг тіла, утвореного обертанням. Як знайти об'єм обертання фігури.

Для обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням, необхідно вміти вирішувати невизначені інтеграли середньої складності, застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца в рішенні певних інтегралів, складати креслення для графіків елементарних функцій. Тобто ви повинні володіти впевненими знаннями в обсязі 11 класу середньої школи.
Вам знадобиться
  • - аркуш паперу;
  • - лінійка;
  • - олівець.
Інструкція
1
Побудуйте креслення фігури, обертанням якої буде утворюватися шукане тіло. Креслення повинен бути виконаний в координатної сітці X0Y, а фігура - обмежуватися строго визначеними лініями функцій. Не забувайте, що навіть найпростіші фігури, наприклад, квадрат, обмежуються лініями функцій. Для простоти обчислень вісь обертання задайте лінією Y = 0.
2
За представленою формулою обчисліть обсяг тіла обертання. При цьому не забувайте значення числа Пі, рівне 3,1415926. Межами інтегрування a і b візьміть точки перетину функції з віссю 0Y. Якщо в практичному завданні плоска фігура розташована нижче осі 0Y, функцію у формулі зведіть в квадрат. При обчисленні інтеграла будьте уважні, щоб не допустити помилки.
3
У відповіді обов'язково вказуйте, що обсяг вирахувано в кубічних одиницях, якщо умови задачі не визначають конкретних одиниць виміру.
4
Якщо в завданні необхідно обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням фігури складної форми, спробуйте спростити його. Наприклад, розбийте плоску фігуру на декілька більш простих, потім обчисліть обсяги тіл обертання і складіть результати. Або навпаки, доповніть плоску фігуру до більш простої, а обсяг шуканого тіла обертання обчисліть як різниця обсягів тел.
5
Якщо плоска фігура утворена синусоїдами, межами інтегрування в більшості випадків будуть 0 і Пі/2. Також будьте уважні при побудові графіків тригонометричних функцій. Якщо аргумент ділитиметься на два X/2, графіки розтягуйте по осі 0X в два рази. Для самоперевірки точності креслення знайдіть 3-4 точки по тригонометричним таблицями.
6
Аналогічним чином обчисліть обсяг тіла, утвореного обертанням плоскої фігури навколо осі 0X. Для цього перейдіть до зворотних функціям і проведіть інтегрування по вищенаведеної формулі. Перехід до зворотної функції, іншими словами - це вираз X через Y. Зверніть увагу: межі інтегрування розставляйте строго знизу вгору по осі ординат.