Як знайти базис системи.

Базисом системи векторів називають впорядковану сукупність лінійно незалежних векторів e ?, e ?, ..., en лінійної системи X розмірності n. Універсального рішення задачі по знаходженню базису конкретної системи не існує. Можна спочатку обчислити його, а потім довести існування.
Вам знадобиться
  • папір, ручка
Інструкція
1
Вибір базису лінійного простору можна здійснити за допомогою другої посилання, наведеною після статті. Шукати універсальну відповідь не варто. Підберіть систему векторів, а потім приведіть доказ її придатності в якості базису. Чи не пробуйте робити це алгоритмічно, в даному випадку треба йти іншим шляхом.
2
Довільний лінійний простір, в порівнянні з простором R ?, не багато властивостями. Проведіть додавання множення вектора на число R ?. Можна піти таким шляхом. Виміряйте довжини векторів і кути між ними. Обчисліть величину площі, обсяги і відстань між об'єктами простору. Потім виконайте наступні маніпуляції. Накладіть на довільне простір склярное твір векторів x і у ((x, y) = x? Y? + X? Y? + ... + Xnyn). Тепер його можна назвати Евклідовому. Воно являє величезну практичну цінність.
3
В довільному по розмірності базисі введіть поняття ортогональності. Якщо склярное твір векторів x і y дорівнює нулю, значить вони ортогональні. Така система векторів є лінійно незалежною.
4
Ортогональні функції в загальному випадку є нескінченновимірними. Попрацюйте з Евклідовому функціональним простором. Розкладіть по ортогональному базису e? (T), e? (T), e? (T), ... вектора (функції) х (t). Уважно вивчіть результат. Знайдіть коефіцієнт? (Координат вектора х). Для цього коефіцієнт Фур'є помножте на вектор е? (Див. Малюнок). Отриману в результаті обчислень формулу можна назвати функціональним рядом Фур'є за системою ортогональних функцій.
5
Вивчіть систему функцій 1, sint, cost, sin2t, cos2t, ..., sinnt, cosnt, .... Визначте ортогональна вона на на на [- ?,?]. Виконайте перевірку. Для цього обчисліть склярние твори векторів. Якщо результат перевірки доводить ортогональность цієї тригонометричної системи, то вона є базисом в просторі C [- ?,?].
Зверніть увагу
В С [a, b] (так позначається простір неперервних на [a, b] функцій) скалярний твір функцій обчислюється за допомогою визначеного інтеграла від їх твори. Пі цьому функції ортогональні на [a, b], якщо? [A, b]? І (t)? Ј (t) dt = 0, i? J
Корисна порада
Система тригонометричних функцій повинна бути ортогональна тільки саме [- ?,?].