Як знайти висоту в прямокутному трикутнику. Висота прямокутного трикутника.

Прямокутний трикутник - це трикутник, в якому один з кутів дорівнює 90 °. Очевидно, що катети прямокутного трикутника є двома його висотами. Знайдемо третю висоту, опущену з вершини прямого кута до гіпотенузи.
Вам знадобиться
  • чистий аркуш паперу; олівець; лінійка; підручник з геометрії.
Інструкція
1
Розглянемо прямокутний трикутник ABC, де? ABC = 90 °. Опустимо з цього кута висоту h на гіпотенузу AC, точку перетину висоти з гіпотенузою позначимо D.
2
Трикутник ADB подібний трикутнику ABC з двох кутках:? ABC =? ADB = 90 °,? BAD - загальний. З подоби трикутників отримуємо співвідношення сторін: AD/AB = BD/BC = AB/AC. Беремо перше і останнє співвідношення пропорції і отримуємо, що AD = AB?/AC.
3
Оскільки трикутник ADB прямокутний, для нього справедлива теорема Піфагора: AB? = AD? + BD ?. Підставляємо в це рівність AD. Виходить, що BD? = AB? - (AB?/AC) ?. Або, що те ж, BD? = AB? (AC? -AB?)/AC ?. Так як трикутник ABC прямокутний, то AC? - AB? = BC ?, тоді отримаємо BD? = AB? BC?/AC? або, витягуючи корінь з обох частин рівності, BD = AB * BC/AC.
4
З іншого боку, трикутник BDC також подібний трикутнику ABC з двох кутках:? ABC =? BDC = 90 °,? DCB - загальний. З подоби цих трикутників отримуємо співвідношення сторін: BD/AB = DC/BC = BC/AC. З цієї пропорції висловлюємо DC через сторони початкового прямокутного трикутника. Для цього розглядаємо друга рівність в пропорції і отримуємо, що DC = BC?/AC.
5
Зі співвідношення, отриманого в кроці 2, маємо, що AB? = AD * AC. З кроку 4 маємо, що BC? = DC * AC. Тоді BD? = (AB * BC/AC)? = AD * AC * DC * AC/AC? = AD * DC. Таким чином, висота BD дорівнює кореню добутку AD і DC або, як кажуть, середньому геометричному частин, на які ця висота розбиває гипотенузу трикутника.
Відео по темі
 http://www.youtube.com/watch?v=nqaoHM1nmT4
Зверніть увагу
Якщо висота проведена з вершини з прямим кутом до гіпотенузи, то трикутник ділиться на два менших трикутника, подібних вихідному й подібних один одному.
Корисна порада
В прямокутному трикутнику обидва катета виступають в ролі безпосередньо самих висот.
Заввишки трикутника називається пряма, опущена з однієї з його вершин, перпендикулярно на пряму, що містить сторону трикутника , протилежну цій вершині трикутника . Кожен трикутник має три висоти.
Інструкція
1
Для того, щоб побудувати висоту остроугольного трикутника , проведіть з його вершини пряму, перпендикулярну протилежні стороні. Відрізок, що з'єднує точку перетину перпендикулярних прямих і вершину, і буде вершиною трикутника , опущеної з заданої висоти. При цьому всі три висоти остроугольного трикутника повинні лежати всередині трикутника .
2
У разі тупоугольного трикутника , для того, щоб побудувати висоти, опущені з двох його гострих кутів, необхідно продовжити прямі, містять сторони, прилеглі до тупого кутку. Висота, опущена з гострого кута тупоугольного трикутника , лежить на продовженні противолежащей вершині боку, за межами трикутника .
3
Якщо один з кутів трикутника прямий, то сторони трикутника , прилеглі до прямого кута (катети) вже є його висотами (збігаються з висотами трикутника ). Третя висота прямокутного трикутника , проведена до його гіпотенузі, лежить всередині меж сторін трикутника .
4
Для того щоб побудувати висоту будь-якого трикутника візьміть циркуль і накресліть окружності з двох його вершин, радіусом, рівним прилеглої стороні трикутника . Окружності буду мати дві точки перетину, з'єднавши які, ви отримаєте пряму, що містить висоту трикутника , проведену до його третій вершині.
Корисна порада
Все три прямі, що містять висоти будь-якого трикутника мають спільну точку - точку перетину. Дана точка називається ортоцентром трикутника. В гострокутна трикутнику ортоцентр знаходиться всередині трикутника і лежить на відрізках, які є висотами трикутника. У прямокутному трикутнику ортоцентром трикутника є одна з його вершин - вершина прямого кута трикутника. В тупоугольного трикутнику точка перетину його висот лежить за межами трикутника, поза відрізків, що з'єднують відповідні вершини трикутників з точками перетину висоти трикутника і прямої містить його протилежну сторону.