Як вирішити рівняння методом Гауса.

Одним з класичних способів вирішення систем лінійних рівнянь є метод Гаусса. Він полягає в послідовному виключенні змінних, коли система рівнянь за допомогою простих перетворень переводиться в ступінчасту систему, з якої послідовно знаходяться всі змінні, починаючи з останніх.
Інструкція
1
Спочатку приведіть систему рівнянь в такий вигляд, коли всі невідомі будуть стояти в строго визначеному порядку. Наприклад, всі невідомі Х стоятимуть першими в кожному рядку, все Y - після X, все Z - після Y і так далі. У правій частині кожного рівняння невідомих бути не повинно. Подумки визначте коефіцієнти, які стоять перед кожною невідомою, а також коефіцієнти в правій частині кожного рівняння.
2
Отримані коефіцієнти запишіть у вигляді розширеної матриці. Розширена матриця - це матриця, складена з коефіцієнтів при невідомих і шпальти вільних членів. Після цього переходите до елементарних перетворень в матриці. Почніть переставляти місцями її рядки до тих пір, поки не знайдете пропорційні або однакові. Як тільки такі рядки з'являться, видаліть їх всі, крім однієї.
3
Якщо в матриці з'явиться нульова рядок, видаліть і її. Нульова рядок - це рядок, в якій всі елементи рівні нулю. Потім спробуйте ділити або множити рядки матриці на будь-які числа, крім нуля. Це допоможе вам спростити подальші перетворення, позбувшись від дрібних коефіцієнтів.
4
Почніть до рядків матриці додавати інші рядки, помножені на будь-яке число, відмінне від нуля. Робіть це до тих пір, поки не виявите в рядках нульові елементи. Кінцева мета всіх перетворень - перевести всю матрицю в ступінчастий (трикутний вид), коли кожна нижченаведена рядок буде мати все більше і більше нульових елементів. В оформленні завдання простим олівцем можна підкреслити отриману драбинку і обвести кружками числа, розташовані на ступенях цієї драбини.
5
Потім приведіть отриману матрицю назад в початковий вигляд системи рівнянь. У самому нижньому рівнянні вже буде видно готовий результат: чому дорівнює невідома, що стояла на останньому місці кожного рівняння. Підставивши отримане значення невідомої в рівняння, розташоване вище, отримаєте значення другої невідомою. І так далі, поки не обчисліть значення всіх невідомих.
Один з поширених методів рішення рівнянь в математичній статистиці - метод Гаусса. З його допомогою можна знайти змінні системи з будь-якої кількості рівнянь, що дуже зручно при великій кількості даних.
Інструкція
1
Наведіть рівняння до стандартного вигляду. Для цього перенесіть вільний член в праву частину, а всі елементи лівій частині розташуйте в однаковому порядку. Щоб було легше скласти матрицю, пропишіть всі множники перед змінної, навіть якщо вони рівні 0 або 1 (наприклад, в одному з рівнянь немає члена з х2 - значить, його можна записати як 0 * х2).
2
Складіть матрицю, виписавши всі множники перед змінними у вигляді таблиці. Вільні члени при цьому будуть знаходитися праворуч, після вертикальної риси.
3
Порядок рівнянь в системі не має значення, тому можете змінювати рядки місцями. Також можна множити (або ділити) всі члени одного рядка на одне і те ж число. Ще одна важлива можливість - можна складати (або віднімати) рядки, тобто, наприклад, з кожного члена верхнього рядка віднімати відповідний член нижньої рядки.
4
Ваша мета - перетворити матрицю в трикутну, щоб всі числа в нижньому лівому і верхньому правому кутах звернулися в нуль. Спочатку виключіть з усіх рівнянь, крім першого, змінну х1. Наприклад, якщо в першому рівнянні стоїть 2х1, у другому 4х1, а в третьому просто х1 (тобто, перший стовпчик матриці 2, 4, 1), то зручніше за все буде помножити третє рівняння на 2, потім відняти його з першого.
5
Далі помножте його ж на 4 і відніміть з другого. Таким чином, змінна х1 зникне з першої і другої рядка. Поміняйте місцями першу і третю рядки, щоб одиниця стояла у верхньому лівому кутку.
6
Коли змінна х1, чи не рівна нулю, буде зустрічатися лише в одному рядку, переходьте до наступної змінної х2. Точно також, використовуючи можливість переставляти рядки, множити їх на число, віднімати з один одного, приведіть всі члени другого шпальти до нуля (крім одного). Зверніть увагу, чи не рівний нулю член буде розташований в іншому рядку - наприклад, у другій.
7
Досягніть того, щоб ваша матриця придбала такий вигляд: діагональ з верхнього лівого в нижній правий кут заповнена одиницями, а решта членів дорівнюють нулю. Вільні члени при цьому будуть рівні яким-небудь числам. Підставте отримані значення в рівняння, і ви побачите відповідь на задачу - кожна змінна буде рівна певному числу.