Як знайти кут між векторами. Знаходження кута між векторами.

Вектор - це відрізок з заданим напрямом. Кут між векторами має фізичне значення, наприклад при знаходженні довжини проекції вектора на вісь.
Інструкція
1
Кут між двома ненульовими векторами визначається за допомогою обчислення скалярного твори. За визначенням скалярний добуток дорівнює добутку довжин векторів на косинус кута між ними. З іншого боку, скалярний твір для двох векторів a з координатами (x1; y1) і b з координатами (x2; y2) обчислюється за формулою: ab = x1x2 + y1y2. З цих двох способів знаходження скалярного твори легко знайти кут між векторами.
2
Знайдіть довжини або модулі векторів. Для наших векторів a і b: | a | = (x1? + Y1?) ^ 1/2, | b | = (x2? + Y2?) ^ 1/2.
3
Знайдіть скалярний добуток векторів, перемноживши їх координати попарно: ab = x1x2 + y1y2. З визначення скалярного твори ab = | a | * | b | * cos?, Де? - Кут між векторами. Тоді отримаємо, що x1x2 + y1y2 = | a | * | b | * cos?. Тоді cos? = (X1x2 + y1y2)/(| a | * | b |) = (x1x2 + y1y2)/((x1? + Y1?) (X2? + Y2?)) ^ 1/2.
4
Знайдіть кут? за допомогою таблиць Брадиса.
5
У разі тривимірного простору додається третя координата. Для векторів a (x1; y1; z1) і b (x2; y2; z2) формула для косинуса кута представлена на малюнку.
Відео по темі
 http://www.youtube.com/watch?v=lObK2YS3FOk
Зверніть увагу
Скалярний добуток - це скалярна характеристика довжин векторів і кута між ними.
Для вирішення багатьох завдань, як прикладних, так і теоретичних, у фізиці та лінійної алгебри необхідно обчислювати кут між векторами. Ця проста на перший погляд завдання здатна доставити безліч труднощів, якщо ви чітко не засвоїте сутність скалярного твори і яка величина з'являється в результаті цього твору.
Інструкція
1
Кут між векторами у векторному лінійному просторі - мінімальний кут при повороті, на який досягається сонаправленнимі векторів. Здійснюється поворот одного з векторів навколо його початкової точки. З визначення стає очевидно, що значення кута не може перевищувати 180 градусів (cм. Малюнок до кроку).
2
При цьому абсолютно справедливо передбачається, що в лінійному просторі при здійсненні паралельного переносу векторів кут між ними не змінюється. Тому для аналітичного розрахунку кута просторова орієнтація векторів не має значення.
3
При знаходженні кута використовуйте визначення скалярного твори для векторів. Дана операція позначається наступним чином (див. Малюнок до кроку).
4
Результат скалярного твори - число, інакше скаляр. Запам'ятайте (це важливо знати), щоб не допустити в подальших розрахунках помилок. Формула скалярного твори, розташованих на площині або в просторі векторів, має вигляд (див. Малюнок до кроку).
5
Це вираз справедливо тільки для ненульових векторів. Звідси висловіть кут між векторами (див. Малюнок до кроку).
6
Якщо система координат, в якій розташовуються вектори, є декартовій, то вираз для визначення кута можна переписати в наступному вигляді (див. Малюнок до кроку).
7
Якщо вектора розташовуються в просторі, то розрахунок виробляєте аналогічним способом. Єдиною відмінністю буде поява третього доданка в подільному - це доданок відповідає за аплікат, тобто третю компоненту вектора. Відповідно, при обчисленні модуля векторів компоненту z також необхідно врахувати, тоді для векторів, розташованих в просторі, останній вираз перетвориться наступним чином (див. Малюнок 6 до кроку).