Як рахувати матриці.

Поняття «матриця» відомо з курсу лінійної алгебри. Перш ніж описати допустимі операції над матрицями, необхідно ввести її визначення. Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, що містить деяку кількість m рядків і деяку кількість n стовпців. Якщо m = n, то матриця називається квадратної. Матриці зазвичай позначають великими латинськими буквами, наприклад A, або A = (aij), де (aij) - елемент матриці, i - номер рядка, j - номер шпальти. Нехай дано дві матриці A = (aij) і B = (bij) мають однакову розмірність m * n.
Інструкція
1
Сумою матриць A = (aij) і B = (bij) називається матриця C = (cij) такий же розмірності, де її елементи cij визначаються рівністю cij = aij + bij (i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2 ..., n) .Сложеніе матриць має такі властивості: 1. A + B = B + A2. (A + B) + C = A + (B + C)
2
Твором матриці A = (aij) на дійсне число? називається матриця C = (cij), де її елементи cij визначаються рівністю cij =? * Aij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2 ..., n) .Умноженіе матриці на число має такі властивості: 1. ( ) A =? (? A),? і? - Дійсні числа, 2. ? (А + В) =? А +? В,? - Дійсне число, 3. (? +?) В =? В +? В,? і? - Дійсні чісла.Введя операцію множення матриці на скаляр, можна ввести операцію віднімання матриць. Різницею матриць A і B буде матриця C, яку можна обчислити за правилом: C = A + (-1) * B
3
Твір матриць. Матрицю A можна помножити на матрицю B, якщо число стовпців матриці A дорівнює числу рядків матриці B.Проізведеніем матриці A = (aij) розмірності m * n на матрицю B = (bij) розмірності n * p називається матриця C = (cij) розмірності m * p, де її елементи cij визначаються по формулі cij = ai1 * b1j + ai2 * b2j + ... + ain * bnj (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2 ..., p) .На малюнку наведено приклад твори матриць розмірності 2 * 2.Проізведеніе матриць має такі властивості: 1. (A * B) * C = A * (B * C) 2. (A + B) * C = A * C + B * C або A * (B + C) = A * B + A * C
Матриця В вважається зворотної для матриці А, якщо при їх множенні утворюється одинична матриця Е. Поняття «зворотної матриці» існує тільки для квадратної матриці, тобто матриці «два на два», «три на три» і т.д. Зворотний матриця позначається надрядковим індексом «-1».
Інструкція
1
Для того щоб знайти зворотну матрицю, скористайтеся формулою: А ^ (- 1) = 1/| А | х А ^ т, де | А | - визначник матриці А, А ^ т - транспонована матриця алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці А.
2
Перш ніж приступити до знаходження зворотної матриці, обчисліть визначник. Для матриці «два на два» визначник розраховується наступним чином: | А | = а11а22-а12а21. Визначник для будь квадратної матриці можна визначити за формулою: | А | =? (- 1) ^ (1 + j) х а1j х Мj, де Мj - додатковий мінор до елемента а1j. Наприклад, для матриці «два на два» з елементами по першому рядку а11 = 1, а12 = 2, по другому рядку а21 = 3, а22 = 4 дорівнюватиме | А | = 1х4-2х3 = -2. Врахуйте, що якщо визначник заданої матриці дорівнює нулю, то зворотної матриці для неї не існує.
3
Потім знайдіть матрицю миноров. Для цього подумки викресліть стовпець і рядок, в якій знаходиться розглянутий елемент. Залишилося число буде мінором даного елемента, його слід записати в матрицю миноров. У розглянутому прикладі мінором для елемента а11 = 1 буде М11 = 4, для а12 = 2 - М12 = 3, для а21 = 3 - М21 = 2, для а22 = 4 - М22 = 1.
4
Далі знайдіть матрицю алгебраїчних доповнень. Для цього поміняйте знак і елементів, що знаходяться по діагоналі: а12 і а 21. Таким чином, елементи матриці будуть рівні: а11 = 4, а12 = -3, а21 = -2, а22 = 1.
5
Після цього знайдіть транспоновану матрицю алгебраїчних доповнень А ^ т. Для цього рядка матриці алгебраїчних доповнень запишіть в стовпці транспонованою матриці. У розглянутому прикладі транспонована матриця матиме наступні елементи: а11 = 4, а12 = -2, а21 = -3, а22 = 1.
6
Потім підставте отримані значення у вихідну формулу. Зворотний матриця А ^ (- 1) буде дорівнює добутку -1/2 на елементи а11 = 4, а12 = -2, а21 = -3, а22 = 1. Іншими словами елементи зворотної матриці будуть рівні: а11 = -2, а12 = 1, а21 = 1,5, а22 = -0,5.