Як знайти зворотну матрицю.

Знаходження оберненої матриці вимагає навичок поводження з матрицями, зокрема, вміння обчислювати визначник і транспонувати.
Інструкція
1
Зворотній матриця знаходиться з елементів вихідної за формулою: A ^ -1 = A */detA, де A * - приєднана матриця, detA - визначник вихідної матриці. Приєднана матриця - це транспонована матриця доповнень до елементів вихідної матриці.
2
Першим ділом знайдіть визначник матриці, він повинен бути відмінний від нуля, так як далі визначник використовуватиметься в якості подільника. Нехай для прикладу дана квадратна матриця третього порядку (що складається з трьох рядків і трьох стовпців). Як видно, визначник нашої матриці не дорівнює нулю, тому існує зворотна матриця.
3
Знайдіть доповнення до кожного елемента матриці A. Доповненням до A [i, j] називається визначник подматріци, отриманої з вихідної викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця, причому цей визначник береться зі знаком. Знак визначається множенням визначника на (-1) в ступені i + j. Таким чином, наприклад, доповненням до A [2,1] буде визначник, розглянутий на малюнку. Знак вийшов так: (-1) ^ (2 + 1) = -1.
4
В результаті ви отримаєте матрицю доповнень, тепер транспонується її. Транспонування - це операція, симетрична щодо головної діагоналі матриці, стовпці і рядки міняються місцями. Таким чином, ви знайшли приєднану матрицю A *.
5
Тепер кожен елемент ділите на визначник вихідної матриці і отримаєте матрицю зворотну вихідної.
Для кожної невиродженої (з визначником | A |, що не дорівнює нулю) квадратної матриці А існує єдина зворотна матриця, що позначається А ^ (- 1), така, що (А ^ (- 1)) А = А, А ^ (- 1) = Е.
Інструкція
1
Е називається одиничною матрицею. Вона складається з одиниць на головній діагоналі - інше нулі. Обчислюється А ^ (- 1) так (див. Рис.1.). Тут А (ij) - алгебраїчне доповнення елемента а (ij) визначника матриці А. А (ij) отримують видаленням з | A | рядка і стовпчика, на перетині яких лежить а (ij), і множенням знову отриманого визначника на (-1) ^ (i + j) .Фактично приєднана матриця - це транспонована матриця з алгебраїчних доповнень елементів А. Транспонування - це заміна стовпців матриці на рядки (і навпаки) . Tранспонірованная матриця позначається А ^ T.
2
Найпростішими є матриці розміру 2х2. Тут будь-яке алгебраїчне доповнення - просто протилежний по діагоналі елемент, взятий зі знаком «+», якщо сума індексів його номера парна, і зі знаком «-», якщо непарна. Таким чином, щоб записати зворотну матрицю , на головній діагоналі вихідної матриці, потрібно поміняти місцями її елементи, а на побічної діагоналі - залишити їх на місці, але змінити знак, а потім все поділити на | A |.
3
Приклад 1. Знайти зворотну матрицю A ^ (- 1), представлену на малюнку 2.
4
Визначник цієї матриці не дорівнює нулю (| A | = 6) (за правилом Саррюс, воно ж правило трикутників). Це суттєво, тому що А не повинна бути виродженої. Далі знаходимо алгебраїчні доповнення матриці А і приєднану матрицю для А (див. Рис. 3).
5
При більшої розмірності процес обчислення зворотної матриці стає занадто громіздким. Тому в таких випадках слід вдаватися до допомоги спеціалізованих комп'ютерних програм.