Як знаходити косинус в трикутнику.

Нерідко в геометричних (тригонометричних) завданнях потрібно знайти косинус кута в трикутнику, бо косинус кута дозволяє однозначно визначити величину самого кута .
Інструкція
1
Щоб знайти косинус кута в трикутнику, довжини сторін якого відомі, можна скористатися теоремою косинус ів. Відповідно до цієї теореми, квадрат довжини сторони довільного трикутника дорівнює сумі квадратів двох його інших сторін без подвоєного твори довжин цих сторін на косинус кута між ними: а? = B? + C? -2 * B * c * соs ?, де: а, b, с - сторони трикутника (точніше їх довжини) ,? - Кут, протилежний стороні а (його величина) .З наведеного рівності легко знаходиться соs?: Соs? = (B? + C? -а?)/(2 * b * c) Приклад 1.Імеется трикутник зі сторонами а, b , с, рівними 3, 4, 5 мм, соответственно.Найті косинус кута, укладеного між великими сторонамі.Решеніе: За умовою задачі маємо: а = 3, b = 4, с = 5.Обозначім протилежний стороні а кут через?, тоді, згідно виведеної вище формулою, маємо: соs? = (b? + c? -а?)/(2 * b * c) = (4? +5? -3?)/(2 * 4 * 5) = (16 + 25-9)/40 = 32/40 = 0,8Ответ: 0,8.
2
Якщо трикутник прямокутний, то для знаходження косинус а кута достатньо знати довжини всього двох будь-яких сторін ( косинус прямого кута дорівнює 0) .Нехай мається прямокутний трикутник зі сторонами а, b, с, де с - гіпотенуза.Рассмотрім всі варіанти: Приклад 2.Найті соs ?, якщо відомі довжини сторін а і b (катети трикутника) Скористаємося додатково теоремою Піфагора: c? = b? + а?, с = v (b? + а?) соs? = (b? + c? -а?)/(2 * b * c) = (b? + b? + а? -а?)/(2 * b * v ( b? + а?)) = (2 * b?)/(2 * b * v (b? + а?)) = b/v (b? + а?) Щоб перевірити правильність отриманої формули, підставимо в неї значення з прикладу 1, тобто = 3, b = 4.Проделав елементарні обчислення, отримуємо: соs? = 0,8.
3
Аналогічно знаходиться косинус в прямокутному трикутнику в інших випадках: Приклад 3.Ізвестни а і з (гіпотенуза і протилежний катет), знайти соs? B? = С ? -а?, b = v (c? -а?) соs? = (b? + c? -а? )/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.Подставляя значення а = 3 і с = 5 з першого прикладу, отримуємо: соs? = 0,8.
4
Приклад 4.Ізвестни b і с (гіпотенуза і прилегла катет) .Знайти соs? Провівши аналогічні (показання в прикладах 2 і 3 перетворення), отримаємо, що в цьому випадку косинус в трикутнику обчислюється по дуже простій формулі: соs? = b/с.Простота виведеної формули пояснюється елементарно: фактично, прилегла до куті? катет є проекцією гіпотенузи, тому його довжина дорівнює довжині гіпотенузи, помноженої на соs? .Подставляя значення b = 4 і с = 5 з першого прикладу, отримаємо: соs? = 0,8Значіт, всі наші формули вірні.