Як вирішувати матрицю методом Гауса.

Рішення матриці в класичному варіанті знаходиться за допомогою методу Гаусса . Даний метод заснований на послідовному виключенні невідомих змінних. Рішення виконується для розширеної матриці, тобто з включеним стовпцем вільних членів. При цьому коефіцієнти, складові матрицю, в результаті проведених перетворень утворюють ступінчасту або трикутну матрицю. Щодо головної діагоналі всі коефіцієнти матриці, крім вільних членів, повинні бути приведені до нуля.
Інструкція
1
Визначте спільність системи рівнянь. Для цього порахуйте ранг основної матриці А, тобто без шпальти вільних членів. Потім додайте стовпець вільних членів і обчисліть ранг вийшла розширеної матриці В. Ранг повинен бути відмінним від нуля, тоді система має рішення. При рівних значеннях рангів існує єдине рішення даної матриці.
2
Наведіть розширену матрицю до виду, коли по головній діагоналі розташовуються одиниці, а нижче неї всі елементи матриці дорівнюють нулю. Для цього перший рядок матриці розділіть на її перший елемент так, щоб перший елемент головної діагоналі став дорівнює одиниці.
3
Відніміть перший рядок від всіх нижніх рядків так, щоб в перовому стовпці всі нижні елементи звернулися в нуль. Для цього помножте спочатку перший рядок на перший елемент другого рядка і відніміть рядка. Потім аналогічно помножте перший рядок на перший елемент третього рядка і відніміть рядка. І так продовжуйте з усіма рядками матриці.
4
Розділіть другий рядок на коефіцієнт у другому стовпці так, щоб наступний елемент головної діагоналі на другому рядку і в другому стовпці став дорівнює одиниці.
5
Відніміть другий рядок від всіх нижніх рядків таким же чином, як описано вище. Все нижчестоящі щодо другого рядка елементи повинні звернутися в нуль.
6
Аналогічно проведіть освіту наступній одинички на головній діагоналі у третій і наступних рядках і обнулення нижчестоящих коефіцієнтів матриці.
7
Потім приведіть отриману трикутну матрицю до виду, коли елементи над головною діагоналлю також представляють собою нулі. Для цього відніміть останній рядок матриці з усіх вищестоящих рядків. Домножайте на відповідний коефіцієнт і віднімайте стоки так, щоб звернулися в нуль елементи стовпця, де в поточному рядку мається одиничка.
8
Проведіть подібне віднімання всіх рядків в порядку знизу вгору, поки не обнуляться всі елементи вище головної діагоналі.
9
Решта елементи в стовпці вільних членів і є вирішенням заданої матриці. Запишіть отримані значення.
Відео по темі
 http://www.youtube.com/watch?v=Zmm442z7eTY
Метод Гаусса є одним з основних принципів вирішення системи лінійних рівнянь. Його перевага полягає в тому, що воно не вимагає квадратичності вихідної матриці або ж попереднього розрахунку її визначника.
Вам знадобиться
  • Підручник з вищої математики.
Інструкція
1
Отже у вас є система лінійних алгебраїчних рівнянь. Даний метод складається з двох основних ходів - прямого і зворотного.
2
Прямий хід: Запишіть систему в матричному віде.Составьте розширену матрицю і приведіть її до східчастого увазі за допомогою елементарних перетворень рядків. Варто нагадати, що матриця має ступінчастий вигляд, якщо виконуються наступні дві умови: Якщо якась рядок матриці нульова, то всі наступні рядки теж є нульовими; Опорний елемент кожної подальший рядка знаходиться правіше, ніж в предидущей.Елементарним перетворенням рядків називають дії наступних трьох типів: 1) перестановка місцями будь-яких двох рядків матріци.2) заміна будь-якого рядка сумою цього рядка з будь-якої іншої, попередньо помноженої на деяке чісло.3) множення будь-якого рядка на відмінне від нуля чісло.Определіте ранг розширеної матриці і зробіть висновок про спільності системи. Якщо ранг матриця А не збігається з рангом розширеної матриці, то система не сумісна і відповідно не має рішення. Якщо ж ранги не збігаються, то система сумісна, і продовжуйте пошук рішень.
3
Зворотний хід: Оголосіть базисними невідомими ті, номери яких співпадуть з номерами базисних стовпців матриці А (її ступеневої виду), а інші змінні будете вважати вільними. Число вільних невідомих обчислюємо за формулою k = nr (A), де n-число невідомих, r (A) -ранг матриця А.Далее поверніться до ступінчастою матриці. Наведіть її до вигляду Гаусса. Нагадаємо, що ступінчаста матриця має вигляд Гаусса, якщо все опорні елементи її рівні одиниці, а над опорними елементами одні нулі. Запишіть систему алгебраїчних рівнянь, яка відповідає матриці виду Гаусса, позначивши вільні невідомі як C1, ..., Ck.На наступному кроці висловіть з отриманої системи базисні невідомі через вільні.
4
Запишіть відповідь у векторному або покоординатно вигляді.
Корисна порада
Існує безліч програм для вирішення даного завдання. Якщо цікавить саме відповідь, а не механізм методу, то цілком можна скористатися ними.