Як знаходити зворотну матрицю.

Вивчимо алгоритм знаходження зворотної матриці двома основними методами: методом Гаусса та за допомогою союзної матриці.
Вам знадобиться
  • - уважність
  • - знання методики
Інструкція
1
Нехай дана матриця А деякого размера.Обратной матрицею матриці А буде матриця B, при множенні якої на вихідну матрицю А виходитиме одинична матриця Е. Зворотний матриця може бути знайдена тільки для квадратної матриці, визначник якої не дорівнює нулю. Матриця B обчислюється таким чином: 1. Починаючи з самого першого елемента, йдемо по строчці зліва направо, для кожного елемента мислення викреслюємо рядок і стовпець, в які він входить, обчислюємо визначник залишилася матриці (значення мінору) і записуємо його в нову матрицю. АЛЕ! Якщо з вихідної матриці поточний елемент ми беремо, послідовно проходячи по рядках, то в нову матрицю записуємо їх вже в стовпчик. Це ще не всё.2. Знаки отриманих елементів, починаючи з першого, будуть чергувати через один - це груба формулювання. Якщо говорити точно, то знак визначається виразом -1 в ступені сум індексів даного елемента, тобто сума номера рядка і стовпчика, в яких він розташований. Іншими словами, знак на протилежний потрібно поміняти у елементів, що мають непарні суму індексов.3. Перед отриманого зворотного матрицею B ставиться коефіцієнт 1/(визначник вихідної матриці А).
2
Це лише один з можливих методів. Також можна скористатися методом Гаусса. Він полягає в тому, що ми беремо вихідну матрицю А і одиничну матрицю Е. Застосовуючи перетворення рядків або стовпців (можемо вичитати або складати відповідні стовпчики чи рядки або множити їх на число) до їм обом одночасно наведемо А до Е. Тоді друга вийшла, матриця буде зворотної, тобто B.Проверіть правильність ваших обчислень дуже просто: перемножте вихідну матрицю А і зворотну їй матрицю B. Якщо вийде одинична матриця Е, то всі дії зроблені вірно.
Знаходження оберненої матриці вимагає навичок поводження з матрицями, зокрема, вміння обчислювати визначник і транспонувати.
Інструкція
1
Зворотній матриця знаходиться з елементів вихідної за формулою: A ^ -1 = A */detA, де A * - приєднана матриця, detA - визначник вихідної матриці. Приєднана матриця - це транспонована матриця доповнень до елементів вихідної матриці.
2
Першим ділом знайдіть визначник матриці, він повинен бути відмінний від нуля, так як далі визначник використовуватиметься в якості подільника. Нехай для прикладу дана квадратна матриця третього порядку (що складається з трьох рядків і трьох стовпців). Як видно, визначник нашої матриці не дорівнює нулю, тому існує зворотна матриця.
3
Знайдіть доповнення до кожного елемента матриці A. Доповненням до A [i, j] називається визначник подматріци, отриманої з вихідної викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця, причому цей визначник береться зі знаком. Знак визначається множенням визначника на (-1) в ступені i + j. Таким чином, наприклад, доповненням до A [2,1] буде визначник, розглянутий на малюнку. Знак вийшов так: (-1) ^ (2 + 1) = -1.
4
В результаті ви отримаєте матрицю доповнень, тепер транспонується її. Транспонування - це операція, симетрична щодо головної діагоналі матриці, стовпці і рядки міняються місцями. Таким чином, ви знайшли приєднану матрицю A *.
5
Тепер кожен елемент ділите на визначник вихідної матриці і отримаєте матрицю зворотну вихідної.