Як знайти медіану трикутника по його сторонах.

Медіана - це відрізок, що з'єднує вершину трикутника і середину противолежащей сторони. Знаючи довжини всіх трьох сторін трикутника , можна знайти його медіани. В приватних випадках рівнобедреного і рівностороннього трикутника , очевидно, досить знання, відповідно, двох (не рівні один одному) і одного боку трикутника .
Вам знадобиться
  • Лінійка
Інструкція
1
Розглянемо самий загальний випадок трикутника ABC з трьома нерівними один одному сторонами. Довжину медіани AE цього трикутника можна обчислити за формулою: AE = sqrt (2 * (AB ^ 2) + 2 * (AC ^ 2) - (BC ^ 2))/2. Решта медіани знаходяться абсолютно аналогічно. Ця формула виводиться через теорему Стюарта, або через добудованих трикутника до паралелограма.
2
Якщо трикутник ABC - рівнобедрений і AB = AC, то медіана AE буде одночасно і висотою цього трикутника . Отже, трикутник BEA буде прямокутним. За теоремою Піфагора, АЕ = sqrt ((AB ^ 2) - (BC ^ 2)/4). Із загальної формули довжини медіани трикутника , для медиан BO і СP справедливо: BO = CP = sqrt (2 * (BC ^ 2) + (AB ^ 2))/2.
3
Якщо трикутник ABC - рівносторонній, то, очевидно, що всі його медіани рівні один одному. Так як кут при вершині рівностороннього трикутника дорівнює 60 градусам, то AE = BO = CP = a * sqrt (3)/2, де a = AB = AC = BC - довжина сторони рівностороннього трикутника .
Медіаною трикутника називається відрізок, що з'єднує будь-яку вершину трикутника з серединою протилежної сторони. Три медіани перетинаються в одній точці завжди всередині трикутника . Ця точка ділить кожну медіану щодо 2: 1.
Інструкція
1
Медіану можна знайти використовуючи теорему Стюарта. Згідно з якою, квадрат медіани дорівнює чверті суми подвоєних квадратів сторін мінус квадрат сторони, до якої проведена медіана.mc ^ 2 = (2a ^ 2 + 2b ^ 2 - c ^ 2)/4, гдеa, b, c - сторони трикутника .mc - медіана до сторони с;
2
Задача по знаходженню медіани може бути вирішена через додаткові побудови трикутника до паралелограма і рішення через теорему про диагоналях параллелограмма.Продлім боку трикутника і медіану, добудувавши їх до паралелограма. Таким чином, медіана трикутника буде дорівнює половині діагоналі получившегося паралелограма, дві сторони трикутника - його боковим сторонам (a, b), а третя сторона трикутника , до якої була проведена медіана, є другою діагоналлю получившегося паралелограма. Згідно з теоремою, сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєною сумі квадратів його сторон.2 * (a ^ 2 + b ^ 2) = d1 ^ 2 + d2 ^ 2, гдеd1, d2 - діагоналі получившегося паралелограма; звідси: d1 = 0.5 * v ( 2 * (a ^ 2 + b ^ 2) - d2 ^ 2)