Як знайти довжину медіани.

Медіана - це відрізок, що з'єднує вершину трикутника і середину противолежащей сторони. Знаючи довжини всіх трьох сторін трикутника, можна знайти його медіани . В приватних випадках рівнобедреного і рівностороннього трикутника, очевидно, досить знання, відповідно, двох (не рівні один одному) і однієї сторони трикутника. Медіану також можна знайти і за іншими даними.
Вам знадобиться
  • Довжини сторін трикутника, кути між сторонами трикутника
Інструкція
1
Розглянемо самий загальний випадок трикутника ABC з трьома нерівними один одному сторонами. Довжину медіани AE цього трикутника можна обчислити за формулою: AE = sqrt (2 * (AB ^ 2 ) + 2 * (AC ^ 2) - (BC ^ 2))/2. Решта медіани знаходяться абсолютно аналогічно. Ця формула виводиться через теорему Стюарта, або через добудованих трикутника до паралелограма.
2
Якщо трикутник ABC - рівнобедрений і AB = AC, то медіана AE буде одночасно і висотою цього трикутника. Отже, трикутник BEA буде прямокутним. За теоремою Піфагора, АЕ = sqrt ((AB ^ 2) - (BC ^ 2)/4). Із загальної формули довжини медіани трикутника, для медиан BO і СP справедливо: BO = CP = sqrt (2 * (BC ^ 2) + (AB ^ 2))/2.
3
Якщо трикутник ABC - рівносторонній, то, очевидно, що всі його медіани дорівнюють один одному. Так як кут при вершині рівностороннього трикутника дорівнює 60 градусам, то AE = BO = CP = a * sqrt (3)/2, де a = AB = AC = BC - довжина сторони рівностороннього трикутника.
4
Медіану трикутника можна знайти і за іншими даними. Наприклад, якщо задані довжини двох сторін, до однієї з яких проведена медіана, наприклад, довжини сторін AB і BC, а також кут x між ними. Тоді довжину медіани можна знайти через теорему косинусів: AE = sqrt ((AB ^ 2 + (BC ^ 2)/4) -AB * BC * cos (x)).