Як знайти тангенс, якщо відомий косинус.

Поняття тангенса є одним з основних в тригонометрії. Воно позначає якусь тригонометричну функцію, яка є періодичною, але не наскрізною в області визначення, як синус і косинус. І має розриви в точках (+, -) Пі * n + Пі/2, де n - це період функції. У Росії він позначається як tg (x). Його можна представити через будь-яку тригонометричну функцію, так як всі вони тісно взаємопов'язані між собою.
Вам знадобиться
  • Підручник з тригонометрії.
Інструкція
1
Для того, щоб висловити тангенс кута через синус, потрібно згадати геометричне визначення тангенса . Отже, тангенсом гострого кута в прямокутному трикутнику, називають відношення протилежного катета до прилеглого.
2
З іншого боку, розгляньте декартову систему координат, на якій накреслена одинична окружність з радіусом R = 1, і центром О на початку координат. Прийміть поворот проти годинникової стрілки, як позитивний, а у зворотний бік негативний.
3
Позначте якусь точку M на окружності. З неї опустіть перпендикуляр на вісь Ох, назвіть її точкою N. Вийшов трикутник OMN, у якого кут ONM є прямим.
4
Тепер розгляньте гострий кут MON, за визначенням синуса і косинус а гострого кута в прямокутному треугольнікеsin (MON) = MN/OM, cos (MON) = ON/OM. Тоді MN = sin (MON) * OM, а ON = cos (MON) * OM.
5
Повернувшись до геометричного визначенню тангенса (tg (MON) = MN/ON), підставте отримані вище вирази. Тоді: tg (MON) = sin (MON) * OM/cos (MON) * OM, скоротіть OM, тоді tg (MON) = sin (MON)/cos (MON).
6
З основного тригонометричного тотожності (sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1) висловіть косинус, через синус: cos (x) = (1-sin ^ 2 (x)) ^ 0,5 Підставте цей вираз в отримане на кроці 5. Тоді tg (MON) = sin (MON)/(1-sin ^ 2 (MON)) ^ 0,5.
7
Іноді існує потреба в обчислення тангенса подвійного і половинчастого кута. Тут теж виведені співвідношення: tg (x/2) = (1-cos (x))/sin (x) = (1- (1-sin ^ 2 (x)) ^ 0,5)/sin (x); tg (2x) = 2 * tg (x)/(1-tg ^ 2 (x)) = 2 * sin (x)/(1-sin ^ 2 (x)) ^ 0,5/(1-sin ( x)/(1-sin ^ 2 (x)) ^ 0,5) ^ 2) == 2 * sin (x)/(1-sin ^ 2 (x)) ^ 0,5/(1-sin ^ 2 (x)/(1-sin ^ 2 (x)).
8
Також можливо виразити квадрат тангенса через подвійний кут косинус а, або синус. tg ^ 2 (x) = (1-cos (2x))/(1 + cos (2x)) = (1-1 + 2 * sin ^ 2 (x))/(1 + 1-2 * sin ^ 2 (x)) = (sin ^ 2 (x))/(1-sin ^ 2 (x)).
Зверніть увагу
Зверніть увагу на області допустимих значень при рішення рівнянь і нерівностей.
Корисна порада
Знання напам'ять основних тотожностей, допоможе швидко переходити від одних тригонометричних функцій до інших.