Як знайти похідну від заданої функції.

Завдання взяття похідної від заданої функції є базовою як для учнів середніх шкіл, так і для студентів вищих навчальних закладів. Неможливо повною мірою освоїти курс математики без засвоєння поняття похідної. Але не варто лякатися завчасно - будь-яку похідну можна обчислити використовуючи найпростіші алгоритми диференціювання і знаючи похідні елементарних функцій.
Вам знадобиться
  • Таблиця похідних елементарних функцій, правила диференціювання
Інструкція
1
За визначенням похідної функції є відношення приросту функції до приросту аргументу за нескінченно малий проміжок часу. Таким чином, похідна показує залежність росту функції від зміни аргументу.
2
Для того щоб знайти похідну елементарної функції досить скористатися таблицею похідних. Повна таблиця похідних елементарних функцій приведено малюнку.
3
Для того, щоб знайти похідну суму (різниці) двох елементарних функцій ми використовуємо правило диференціювання суми: похідна суми функцій дорівнює сумі їх похідних. Це записується як: (f (x) + g (x)) '= f' (x) + g '(x). Тут символом (') показується взяття похідної від функції. А далі задача зводиться до взяття похідних двох елементарних функцій, описана на попередньому кроці.
4
Для того щоб знайти похідну добутку двох функцій, необхідно скористатися ще одним правилом диференціювання: (f (x) * g (x)) '= f' (x) * g (x) + f (x) * g '(x), тобто похідна твори дорівнює сумі твори похідною першого множника на другий і перший множника на похідну другого. Знайти похідну приватного можна за формулою, представленої на зображенні. Вона дуже схожа на правило взяття похідної твори, тільки замість суми в чисельнику стоїть різниця, і додається знаменник, у якому знаходиться квадрат знаменника заданої функції.
5
Взяття похідної складної функції - найбільш важке завдання при диференціюванні (складною функцією називається функція, аргументом якої є яка-небудь залежність). Але й вона вирішується за досить простому алгоритму. Спочатку ми беремо похідну по складному аргументу, вважаючи його простим. Потім ми множимо отриманий вираз на похідну складного аргументу. Так ми можемо знайти похідну функції з будь-яким ступенем вкладеності.
Методи диференціального обчислення використовуються при дослідженні характеру поведінки функції в математичному аналізі. Однак це не єдина сфера їх застосування, часто потрібно знайти похідну, щоб розрахувати граничні величини в економіці, обчислити швидкість або прискорення у фізиці.
Інструкція
1
Похідна функції в точці показує швидкість її зміни і обчислюється через теорію меж. Тому вона може мати як кінцеве, так і нескінченне значення. У другому випадку говорять, що вихідна функції не дифференцируема в цій точці. Існують правила, за якими можна знайти похідну найпростішої, елементарної і складною функції .
2
Запам'ятайте таблицю обчислення похідних найпростіших і деяких елементарних функцій: - З '= 0; - х' = 1; - (С • х) '= С • х' = С; - (sin х) '= соs х; (Соs х) '= - sin х; - (tv х)' = 1/соs? х; (Сtv х) '= -1/sin? х; - b ^ х = b ^ х • ln b; - lоv_b х = 1/(х • ln b).
3
Застосовуйте загальні правила діфференцірованія.Проізводная статечної функції виду х ^ n, де n> 1, дорівнює n • х ^ (n-1). Приклади: (х ^ 4) '= 4 • х ?; (5 • х?) '= 5 • 3 • х? = 15 • х?.
4
Похідна суми функцій знаходиться шляхом складання їх окремих похідних: (? Fi (х)) '=? Fi' (х). Приклади: (sin х + соs х) '= соs х - sin х; (Х ^ 5 + 6 • х ^ 4 - 2 • х? + 14 • х) '= 5 • х ^ 4 + 24 • х? - 4 • х + 14. При диференціюванні многочлена його ступінь зменшується на 1.
5
Похідна твори, де обидва множники є функціями, дорівнює сумі двох елементів. У першому випадку це похідна першої функції і вихідне вираз другий, у другому випадку - навпаки: (f • v) '= f' • v + f • v'.Прімер: (5 ^ х • lоv_5 х) '= (5 ^ х)' • lоv_5 х + 5 ^ х • (lоv_5 х) '= 5 • х • ln 5 • lоv_5 х + 5 ^ х/(х • ln 5).
6
Дріб, де чисельник і знаменник - функції , диференціюється за більш складною формулою: (f/v) '= (f' • v - f • v ')/v ?. Приклад: ((х • sin х)/(5 • х? + 3)) '. Решеніе.К цьому виразу застосовні відразу два правила диференціювання: суми і добутку функцій одного і того ж аргументу: ((х • sin х)/(5 • х? + 3)) '= ((х • sin х)' • (5 • х? + 3) - х • sin х • (5 • х? + 3) ')/(5 • х? + 3)? = ((Sin х + х • соs х) • (5 • х? + 3) - х • sin х • 10 • х)/(5 • х? + 3)?.
7
Розкрийте дужки і приведіть подібні: х • соs х - х • sin х • (5 • х - 3)/(5 • х? + 3)?.
8
Щоб знайти похідну складної функції виду f (v (х)), продіфференціруйте старшу функцію f, прийнявши v за простий аргумент. Потім помножте результат на похідну v '(х). Наприклад: (tv (2 • х? + 3)) '= (tv х)' • (2 • х? + 3) '= 1/соs? (2 • х? + 3) • 4 • х = 4 • х/соs? (2 • х? + 3).