Як знайти довжину відрізка за координатами.

Існують три основних системи координат, що використовуються в геометрії, теоретичної механіки, інших розділах фізики: декартова, полярна і сферична. У цих системах координат кожна точка має три координати. Знаючи координати двох точок, можна визначити відстань між цими двома точками.
Вам знадобиться
  • Декартові, полярні і сферичні координати кінців відрізка
Інструкція
1
Розгляньте для початку прямокутну декартову систему координат. Положення точки в просторі в цій системі координат визначається координатами x, y і z. З початку координат до точки проводиться радіус-вектор. Проекції цього радіус-вектора на координатні осі і будуть координатами цій точкі.Пусть у вас тепер є дві точки з координатами x1, y1, z1 і x2, y2 і z2 відповідно. Позначте за r1 і r2, відповідно, радіус-вектори першої та другої точки. Очевидно, що відстань між цими двома точками буде дорівнює модулю вектора r = r1-r2, де (r1-r2) - векторна разность.Коордінати вектора r, очевидно, будуть наступними: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Тоді модуль вектора r або відстань між двома точками дорівнюватиме: r = sqrt (((x1-x2) ^ 2) + ((y1-y2) ^ 2) + ((z1-z2) ^ 2)).
2
Розгляньте тепер полярну систему координат, в якій координата точки буде задаватися радіальної координатою r (радіус-вектор в площині XY), кутовий координатою? (Кутом між вектором r і віссю X) і координатою z, аналогічної координаті z в декартовій сістеме.Полярние координати точки можна перевести в декартові наступним чином: x = r * cos ?, y = r * sin ?, z = z. Тоді відстань між двома точками з координатами r1,? 1, z1 і r2,? 2, z2 дорівнюватиме R = sqrt (((r1 * cos? 1-r2 * cos? 2) ^ 2) + ((r1 * sin? 1-r2 * sin? 2) ^ 2) + ((z1-z2) ^ 2)) = sqrt ((r1 ^ 2) + (r2 ^ 2) -2r1 * r2 (cos? 1 * cos? 2 + sin? 1 * sin? 2) + ((z1-z2) ^ 2))
3
Тепер розгляньте сферичну систему координат. У ній положення точки задається трьома координатами r,? і?. r - відстань від початку координат до точки,? і? - Азимутні і зенітний кут відповідно. Кут? аналогічний розі з таким же позначенням в полярній системі координат, а? - Кут між радіус-вектором r і віссю Z, причому 0 <=? <= Pi.Переведем сферичні координати в декартові: x = r * sin? * Cos ?, y = r * sin? * Sin? * Sin ?, z = r * cos ?. Відстань між точками з координатами r1,? 1,? 1 і r2,? 2 і? 2 дорівнюватиме R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+((r1*sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin?1)^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2))
Нехай відрізок заданий двома точками в площині координат, тоді можна знайти його довжину за допомогою теореми Піфагора.
Інструкція
1
Нехай задані координати кінців відрізка (x1; y1) і (x2; y2). Накресліть відрізок в системі координат.
2
Опустіть перпендикуляри з кінців відрізка на осі X і Y. Відрізки, відмічені на малюнку червоним, є проекціями вихідного відрізка на осі координат.
3
Якщо виконати паралельний перенос, відрізків-проекцій до кінців відрізків, то вийде прямокутний трикутник. Катетами цього трикутника будуть перенесені проекції, а гіпотенузою - сам відрізок AB.
4
Довжини проекцій легко обчислюються. Довжина проекції на вісь Y дорівнюватиме y2-y1, а довжина проекції на вісь X - x2-x1. Тоді по теоремі Піфагора | AB |? = (Y2 - y1)? + (X2 - x1) ?, де | AB | - довжина відрізка.
5
Представивши цю схему знаходження довжини відрізка в загальному випадку, легко обчислювати довжину відрізка, не будуючи відрізок. Порахуємо довжину відрізка, координати кінців якого (1; 3) і (2; 5). Тоді | AB |? = (2 - 1)? + (5 - 3)? = 1 + 4 = 5, таким чином довжина шуканого відрізка дорівнює 5 ^ 1/2.