Як знайти за трьома сторонами площа трикутника. Площа трикутника за трьома сторонами.

Пошук площі трикутника - одна з найпоширеніших задач шкільної планіметрії. Знання трьох сторін трикутника достатньо для визначення площі будь-якого трикутника. В приватних випадках рівнобедреного і рівностороннього трикутників досить знати довжини двох і одного боку відповідно.
Вам знадобиться
  • довжини сторін трикутників, формула Герона, теорема косинусів
Інструкція
1
Нехай задана трикутник ABC зі сторонами AB = c, AC = b, BC = a. Площа такого трикутника можна знайти за формулою Герона.Періметр трикутника P - це сума довжин його трьох сторін: P = a + b + c. Позначимо його напівпериметр за p. Він буде дорівнює p = (a + b + c)/2.
2
Формула Герона для площі трикутника виглядає наступним чином: S = sqrt (p (pa) (pb) (pc)). Якщо розписати напівпериметр p, то вийде: S = sqrt (((a + b + c)/2) ((b + ca)/2) ((a + cb)/2) ((a + bc)/2) ) = (sqrt ((a + b + c) (a + bc) (a + cb) (b + ca)))/4.
3
Можна вивести формулу для площі трикутника і з інших міркувань, наприклад, застосувавши теорему косінусов.По теоремі косинусів AC ^ 2 = (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC ). Використовуючи введені позначення, ці вирази можна також записати у вигляді: b ^ 2 = (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Звідси, cos (ABC) = ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2))/(2 * a * c)
4
Площа трикутника знаходиться також по формулі S = a * c * sin (ABC)/2 через дві сторони і кут між ними. Синус кута ABC можна виразити через його косинус за допомогою основного тригонометричного тотожності: sin (ABC) = sqrt (1 - ((cos (ABC)) ^ 2). Підставляючи синус в формулу для площі і розписуючи його, можна прийти до формули для площі трикутника ABC.
Відео по темі
 http://www.youtube.com/watch?v=8gEW4eQ_goQ