Як визначити відстань від точки до площини.

Визначення відстані від точки до площині - одна з поширених завдань шкільної планіметрії. Як відомо, найменшим відстанню від точки до площині буде перпендикуляр, проведений із цієї точки до даної площині. Тому довжина цього перпендикуляра і приймається за відстань від точки до площині.
Вам знадобиться
  • рівняння площини
Інструкція
1
У тривимірному просторі можна визначити декартову систему координат з осями X, Y і Z. Тоді у будь точки в цьому просторі завжди будуть визначені координати x, y і z. Нехай задана точка з координатами x0, y0, z0.Уравненіе площині виглядає так: ax + by + cz + d = 0.
2
Відстань від заданої точки до заданої точки , тобто довжина перпендикуляра, знаходиться за формулою: r = | ax0 + by0 + cz0 + d |/sqrt ( (a ^ 2) + (b ^ 2) + (c ^ 2)). Справедливість цієї формули можна довести за допомогою параметричних рівнянь прямої, або за допомогою скалярного добутку векторів.
3
Існує також поняття відхилення точки від площині. Площину можна задати нормованим рівнянням: x * cos? + Y * cos? + Z * cos? -p = 0, де p - відстань від площині до початку координат. У нормированном рівнянні задані направляючі косинуси вектора N = (a, b, c), перпендикулярному площині, де a, b, c - константи, що визначають рівняння площині .Отклоненіе точки M з коордінататамі x0, y0 і z0 від площині, заданої нормованим рівнянням, записується у вигляді:? = X0 * cos? + Y0 * cos? + Z0 * cos? -p. ?> 0, якщо точка M і початок координат лежать по різні сторони площині, інакше? <0.Расстояніе від точки до площині одно r = |? |.