Як вирішувати логарифмічне нерівність.

Логарифмічні нерівності - це нерівності, містять невідоме під знаком логарифма і (або) у його. При вирішенні логарифмічних нерівностей часто використовують наступні твердження.
Вам знадобиться
  • Уміння вирішувати системи і сукупності нерівностей
Інструкція
1
Якщо основа логарифма а> 0, то нерівність logaF (x)> logaG (x) рівносильне системі нерівностей F (x)> G (x), F (x)> 0, G (x)> 0. Розглянемо приклад: lg (2x ^ 2 + 4x + 10)> lg (x ^ 2-4x + 3). Перейдемо в равносильной системі нерівностей: 2x ^ 2 + 4x + 10> x ^ 2-4x + 3, 2x ^ 2 + 4x + 10> 0, x ^ 2-4x + 3> 0. Вирішивши цю систему, отримуємо рішення даної нерівності: х належить проміжкам (-нескінченно, -7), (-1,1), (3, + нескінченності).
2
Якщо основа логарифма знаходиться в інтервалі від 0 до 1, то нерівність logaF (x)> logaG (x) рівносильне системі нерівностей F (x) 0, G (x)> 0. Наприклад, log (x + 25) по підставі 0.5> log (5x-10) по підставі 0,5. Перейдемо в равносильной системі нерівностей: x + 25 <8x-10, x + 25> 0, 8x-10> 0. При вирішенні даної системи нерівностей, отримуємо x> 5, що і буде рішенням початкового нерівності.
3
Якщо невідоме стоїть і під знаком логарифма і в його підставі, то рівняння logF (x) по підставі h (x)> logG (x) по підставі h (x) рівносильне сукупності систем: 1 система - h (x )> 1, F (x)> G (x), F (x)> 0, G (x)> 0; 2 - 00, G (x)> 0. Наприклад, log (5-x) по підставі (x + 2)/(x-3)> log (4-x) по підставі (x + 2). Здійснимо рівносильний перехід до сукупності систем нерівностей: 1 система - (x + 2)/(x-3)> 1, x + 2> 4-x, x + 2> 0, 4-x> 0; 2 система - 0 <(x + 2)/(x-3) <1, x + 2 <4-x, x + 2> 0, 4-x> 0. Вирішуючи дану сукупність систем, отримуємо 3
4
Деякі логарифмічні рівняння можливо вирішити за допомогою заміни змінної. Наприклад, (lgX) ^ 2 + lgX-2> = 0. Позначимо lgX = t, тоді отримуємо рівняння t ^ 2 + t-2> = 0, вирішуючи яке отримуємо t <= - 2 або t> = 1. Таким чином отримуємо сукупність нерівностей lgX <= 2, lgX> = 1. Вирішуємо їх, x> = 10 ^ (- 2)? 00.
Зверніть увагу
В 1-3 твердженнях можуть стояти будь-які знаки (> =,
Корисна порада
Логарифм з основою 10, називається десятковим і позначається lgX.Логаріфм з основою 2,7 називається натуральним і позначається lnX.