Як знайти площу і об'єм куба. обсяг куба вписаного кулі.

Куб - це прямокутний паралелепіпед, всі ребра якого рівні. Тому загальна формула для об'єму прямокутного паралелепіпеда і формула для площі його поверхні в разі куба спрощуються. Також обсяг куба і його площу поверхні можна знайти, знаючи об'єм кулі, вписаного в нього, або кулі, описаного навколо нього.
Вам знадобиться
  • довжина сторони куба, радіус вписаного і описаного кулі
Інструкція
1
Обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює: V = abc - де a, b, c - його вимірювання. Тому обсяг куба дорівнює V = a * a * a = a ^ 3, де a - довжина сторони куба .Площадь поверхні куба дорівнює сумі площ всіх його граней. Всього у куба шість граней, тому площу його поверхні дорівнює S = 6 * (a ^ 2).
2
Нехай куля вписаний в куб. Очевидно, діаметр цієї кулі буде дорівнює стороні куба . Підставляючи довжину діаметра в вирази для обсягу замість довжини ребра куба і використовуючи, що діаметр дорівнює подвоєному радіусу, отримаємо тоді V = d * d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3) , де d - діаметр вписаного кола, а r - радіус вписаного окружності.Площадь поверхні куба тоді буде дорівнює S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2).
3
Нехай куля описаний навколо куба . Тоді його діаметр буде збігатися з діагоналлю куба . Діагональ куба проходить через центр куба і з'єднує дві його протилежні точкі.Рассмотріте для початку одну з граней куба . Ребра цієї грані є катетами прямокутного трикутника, в якому діагональ грані d буде гіпотенузою. Тоді по теоремі Піфагора отримаємо: d = sqrt ((a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.
4
Потім розгляньте трикутник в якому гіпотенузою буде діагональ куба , а діагональ грані d і одне з ребер куба a - його катетами. Аналогічно, по теоремі Піфагора отримаємо: D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 * (a ^ 2) + (a ^ 2)) = a * sqrt (3) .Отже, по виведеної формулою діагональ куба дорівнює D = a * sqrt (3). Звідси, a = D/sqrt (3) = 2R/sqrt (3). Отже, V = 8 * (R ^ 3)/(3 * sqrt (3)), де R - радіус описаного шара.Площадь поверхні куба дорівнює S = 6 * ((D/sqrt (3 )) ^ 2) = 6 * (D ^ 2)/3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).