Як рахувати межі.

У підручниках з математичного аналізу значна увага приділяється прийомам обчислення меж функцій і послідовностей. Існують готові правила і методи, застосовуючи які, можна з легкістю вирішувати навіть відносно складні завдання на межі.
Інструкція
1
В математичному аналізі існують поняття меж послідовностей і функцій. Коли потрібно знайти межа послідовності, це записують наступним чином: lim xn = a. У такій послідовності послідовності xn прагне до a, а n до нескінченності. Послідовність зазвичай представляють у вигляді ряду, наприклад: x1, x2, x3 ..., xm, ..., xn ... .Последовательності підрозділяються на зростаючі і спадні. Наприклад: xn = n ^ 2 - зростаюча последовательностьyn = 1/n - спадна последовательностьТак, наприклад, межа послідовності xn = 1/n ^ 2 дорівнює: lim 1/n ^ 2 = 0x Даний межа дорівнює нулю, оскільки n , а послідовність 1/n ^ 2 прагне до нуля.
2
Зазвичай змінна величина x прагне до кінцевого межі a, причому, x постійно наближається до a, а величина a постійна. Це записують наступним чином: limx = a, при цьому, n також може прагнути як до нуля, так і до безкінечності. Існують нескінченні функції, для них межа прямує до нескінченності. В інших випадках, коли, наприклад, функцією описується уповільнення ходу поїзда, можна говорити про межу, яка прагне до нулю.У меж є ряд властивостей. Як правило, будь-яка функція має тільки один межа. Це головна властивість межі. Інші їх властивості перераховані нижче: * Межа суми дорівнює сумі меж: lim (x + y) = lim x + lim y * Межа твори дорівнює добутку меж: lim (xy) = lim x * lim y * Межа приватного дорівнює приватному від меж: lim (x/y) = lim x/lim y * Постійний множник виносять за знак межі: lim (Cx) = C lim xЕслі дана функція 1/x, в якій x , її межа дорівнює нулю. Якщо ж x? 0, межа такої функції дорівнює? .Для Тригонометричних функцій є винятки з цих правил. Так як функція sin x завжди прагне до одиниці, коли наближається до нуля, для неї справедливо тотожність: lim sin x/x = 1x? 0
3
У ряді завдань зустрічаються функції, при обчисленні меж яких виникає невизначеність - ситуація, при якій межа неможливо обчислити. Єдиним виходом з такої ситуації стає застосування правила Лопіталя. Існує два види невизначеностей: * невизначеність виду 0/0 * невизначеність виду?/? Приміром, дан межа такого вигляду: lim f (x)/l (x), причому, f (x0) = l (x0) = 0. У такому випадку, виникає невизначеність виду 0/0. Для вирішення такого завдання обидві функції піддають диференціювання, після чого знаходять межа результату. Для невизначеностей виду 0/0 межа дорівнює: lim f (x)/l (x) = lim f '(x)/l' (x) (при x? 0) Це ж правило справедливо і для невизначеностей типу?/?. Але в цьому випадку справедливо рівність: f (x) = l (x) =? За допомогою правила Лопіталя можна знаходити значення будь-яких меж, в яких фігурують невизначеності. Обов'язкова умова при тому - відсутність помилок при знаходженні похідних. Так, наприклад, похідна функції (x ^ 2) 'дорівнює 2x. Звідси можна зробити висновок, що: f '(x) = nx ^ (n-1)
Корисна порада
Приклад завдання на знаходження межі за правилом Лопіталя.Дано такий вираз: lim (1-cosx)/x ^ 2 x? 0 Оскільки cosx = 1, виникає невизначеність типу 0/0.Первая похідна функції дорівнює: {( 1-cosx)/x ^ 2} '= sinx/2xlim sinx/2x = 0/0 x? 0Із останнього виразу видно, що невизначеність виникла знову, тому необхідно взяти другу похідну цієї функції: {(sinx)/2x}' = cosx/2Теперь межа дорівнює: lim cosx/2 = 1/2x? 0Ответ: lim (1-cosx)/x ^ 2 = 1/2x? 0
Розрахунок меж функцій - фундамент математичного аналізу, якому присвячено чимало сторінок в підручниках. Однак часом не зрозуміло не тільки визначення, але й сама суть межі. Говорячи простою мовою, межа - це наближення однієї змінної величини, яка залежить від іншої, до якогось конкретного єдиному значенню в міру зміни цієї іншої величини. Для успішного обчислення досить тримати в голові простий алгоритм рішення.
Інструкція
1
Підставте граничну точку (прагнучий до якого-небудь числа «х») у вираз після знаку межі. Такий спосіб найбільш простий і економить багато часу, оскільки в результаті виходить однозначне число. Якщо ж виникають невизначеності, то слід скористатися наступними пунктами.
2
Пам'ятайте визначення похідної. З нього випливає, що швидкість зміни функції нерозривно пов'язана з межею. Отже, обчислюйте будь межа через похідну за правилом Бернуллі-Лопіталя: межа двох функцій дорівнює відношенню їх похідних.
3
Скоротіть кожний доданок на старшу ступінь змінної, що стоїть в знаменнику. В результаті обчислень у вас вийде або нескінченність (якщо старша ступінь знаменника більше такої ж міри чисельника), або нуль (навпаки), або деяке число.
4
Спробуйте розкласти дріб на множники. Правило ефективно при невизначеності виду 0/0.
5
Помножте чисельник і знаменник дробу на поєднане вираз, особливо якщо після «lim» є коріння, що дають невизначеність виду 0/0. В результаті вийде різницю квадратів без ірраціональності. Наприклад, якщо в чисельнику стоїть ірраціональне вираз (2 кореня), то потрібно помножити на рівне йому, з протилежним знаком. З знаменника корені не підуть, проте їх можна буде порахувати, виконавши п.1.
Корисна порада
При обчисленнях пам'ятайте, що будь-яке число, поділене на нескінченність, є нескінченно мала величина, яку при розрахунках можна прийняти рівною нулю.Пользуйтесь теоремами про межі для вирішення найпростіших завдань, особливо тригонометричних, але не забувайте прораховувати, до чого прагне вираз під знаком предела.Прі утрудненнях використовуйте онлайн-калькулятори, які можна легко знайти в інтернете.Виносіте постійні множники (числа) за знак межі.