Як знайти бісектрису рівнобедреного трикутника. бісектриси в трикутник.

У рівнобедреного трикутника дві сторони рівні, кути при його підставі теж будуть рівні. Тому бісектриси, проведені до бічних сторін, дорівнюватимуть один одному. Бісектриса, проведена до основи рівнобедреного трикутника , буде одночасно медіаною і висотою цього трикутника .
Інструкція
1
Нехай бісектриса AE проведена до основи BC рівнобедреного трикутника ABC. Трикутник AEB буде прямокутним, так як бісектриса AE буде одночасно бути його висотою. Бічна сторона AB буде гіпотенузою цього трикутника , а BE і AE - його катетамі.По теоремі Піфагора (AB ^ 2) = (BE ^ 2) + (AE ^ 2). Тоді (BE ^ 2) = sqrt ((AB ^ 2) - (AE ^ 2)). Так як AE і медіана трикутника ABC, то BE = BC/2. Отже, (BE ^ 2) = sqrt ((AB ^ 2) - ((BC ^ 2)/4)). Якщо заданий кут при основі ABC, то з прямокутного трикутника бісектриса AE дорівнює AE = AB/sin (ABC). Кут BAE = BAC/2, так як AE - бісектриса. Звідси, AE = AB/cos (BAC/2).
2
Нехай тепер проведена висота BK до бічної сторони AC. Ця висота вже не є ні медианой, ні биссектрисой трикутника . Для обчислення її довжини існує формула Стюарта.Періметр трикутника - це сума довжин всіх його сторін P = AB + BC + AC. А його напівпериметр дорівнює половині суми довжин всіх його сторін: P = (AB + BC + AC)/2 = (a + b + c)/2, де BC = a, AC = b, AB = c.Формула Стюарта для довжини бісектриси, проведеної до сторони c (тобто, AB), буде мати вигляд: l = sqrt (4abp (pc))/(a + b).
3
З формули Стюарта видно, що бісектриса, проведена до сторони b (AC), буде мати таку ж довжину, так як b = c.
Бісектриса трикутника має ряд властивостей. Якщо правильно їх використовувати, можна вирішувати завдання різного рівня складності. Але навіть маючи дані про всі три биссектрисах, не можна побудувати трикутник.

Що таке бісектриса

Вивчення властивостей трикутників і рішення задач, пов'язаних з ними - цікавий процес. Він дозволяє розвивати одночасно і логіку, і просторове мислення. Однією з важливих складових трикутника є бісектриса. Бісектриса є відрізком, який виходить з кута трикутника і ділить його на рівні часті.В багатьох задачах з геометрії в умовах є дані про бісектрисі, при цьому потрібно знайти значення кута чи довжину протилежного боку і так далі. В інших задачах необхідно знайти параметри самої бісектриси. Щоб визначити правильну відповідь будь-який з задач, пов'язаних з биссектрисой, потрібно знати її властивості.

Властивості бісектриси

По-перше, бісектриса - це геометричне місце точок, які віддалені на рівні відстані від сторін, прилеглих до кута. По-друге, бісектриса трикутника ділить протилежну розі сторону на відрізки, які пропорційні прилеглим сторонам. Приміром, є трикутник АБС, в ньому з кутка Б виходить бісектриса, яка з'єднує вершину кута з точкою М на прилеглій стороні АС. Після проведення аналізу, отримаємо формулу: АМ/МС = АБ/БС. По-третє, точка, яка є перетином биссектрис з усіх кутів трикутника, виступає як центр кола, вписаного в даний трикутник. По-четверте, якщо дві бісектриси одного трикутника рівні, значить, даний трикутник є рівнобедреним. По-п'яте, якщо є дані про всіх трьох биссектрисах, то не можна виконати побудову трикутника, навіть якщо скористатися циркулем. Нерідко для вирішення завдання бісектриса невідома, необхідно знайти її довжину. Щоб вирішити завдання, потрібно знати кут, з якого вона виходить, а також довжини сторін, прилеглих до нього. В такому випадку довжина бісектриси дорівнює подвоєному добутку прилеглих сторін на косинус кута, поділене навпіл на суму довжин прилеглих сторін.

Прямокутний трикутник

У прямокутному трикутнику бісектриса має ті ж властивості, що і в звичайному. Але додається додаткове властивість - бісектриса прямого кута утворює при перетині кут в 45 градусів. Більш того, в равнобедренном прямокутному трикутнику бісектриса, яка опущена на основу, буде також виступати як висота і медіана.