Як досліджувати безперервність функції. Дослідити функцію на неперервність.

Безперервність - одне з основних властивостей функцій. Рішення про те, неперервна дана функція чи ні, дозволяє судити про інших властивостях досліджуваної функції. Тому так важливо досліджувати функції на неперервність. У даній статті розглянуті основні прийоми дослідження функцій на неперервність.
Інструкція
1
Отже, почнемо з визначення безперервності. Воно говорить наступне: Функція f (x), визначена в деякій околиці точки a, називається безперервної в цій точці, есліlim f (x) = f (a) x-> a
2
Розберемося, що це означає. По-перше, якщо функція не визначена в даній точці, то сенсу говорити про безперервність немає. Функція розривна і крапка. Наприклад, всім відома f (x) = 1/x не існує в нулі (ділити на нуль ні в якому разі не можна), от і розрив. Це ж стосуватиметься і більш складних функцій, в які не можна підставити деякі значення.
3
По-друге, є інший варіант. Якщо ми (або хтось для нас) склав функцію зі шматочків інших функцій. Наприклад, таку: f (x) = x ^ 2-4, x <-13x, -1 <= x <35, x> = 3В такому випадку нам треба зрозуміти, вона неперервна або розривна. Як це зробити?
4
Це варіант більш складний, оскільки потрібно встановити безперервність на всій області визначення функції. В даному випадку областю визначення функції є вся числова вісь. Тобто від мінус-нескінченності до плюс-бесконечності.Для початку скористаємося визначенням безперервності на проміжку. Ось воно: Функцію f (x) називають неперервною на відрізку [a; b], якщо вона неперервна в кожній точці інтервалу (a; b) і, крім того, неперервна справа в точці a і зліва в точці b.
5
Отже, щоб визначити безперервність нашої складної функції, треба відповісти для себе на кілька запитань: 1. Чи визначені взяті функції на заданих інтервалах? У нашому випадку відповідь положітельний.Значіт, точки розриву можуть бути лише в точках зміни функції. Тобто в точках -1 і 3.
6
2. Тепер потрібно досліджувати безперервність функції в цих точках. Ми вже знаємо, як це делается.Сперва потрібно знайти значення функції в цих точках: f (-1) = - 3, f (3) = 5 - функція визначена в цих точках.Теперь потрібно знайти правий і лівий межі для цих точок. lim f (-1) = - 3 (межа зліва існує) x -> - 1-lim f (-1) = - 3 (межа праворуч існує) x -> - 1 + Як бачимо, правий і лівий межі для точки - 1 збігаються. Значить, функція неперервна в точці -1.
7
Проробимо те ж саме для точки 3.lim f (3) = 9 (межа існує) x-> 3-lim f (3) = 5 (межа існує) x-> 3 + А тут межі не співпадають . Це означає, що в точці 3 функція разривна.Вот і всі дослідження. Бажаємо успіхів!
Корисна порада
Завжди під час аналізу на безперервність необхідно пам'ятати, що більшість відомих нам функцій безперервні. До них відносяться лінійна, квадратична, показова і тригонометричні функції.
Дослідженням функції називають спеціальне завдання в шкільному курсі математики, в ході якого виявляються основні параметри функції і будується її графік. Раніше метою даного дослідження була побудова графіка, сьогодні ж це завдання вирішується за допомогою спеціалізованих комп'ютерних програм. Але все ж не зайвим буде ознайомитися з загальною схемою дослідження функції.
Інструкція
1
Знаходиться область визначення функції, тобто діапазон значень x, при яких функція приймає яке або значення.
2
Визначаються області безперервності і точки розриву. При цьому зазвичай області безперервності збігаються з областю визначення функції, необхідно досліджувати ліві і праві бокові вівтарі ізольованих точок.
3
Перевіряється наявність вертикальних асимптот. Якщо функція має розриви, то необхідно досліджувати кінці відповідних проміжків.
4
Парність і непарність функції перевіряється за визначенням. Функція y = f (x) називається парною, якщо для будь-якого x з області визначення вірно рівність f (-x) = f (x).
5
Функція перевіряється на періодичність. Для цього x змінюється на x + T і шукається найменше позитивне число T. Якщо таке число існує, то функція періодична, а число T - період функції.
6
Функція перевіряється на монотонність, знаходяться точки екстремуму. При цьому похідну функції прирівнюють до нуля, знайдені при цьому точки, виставляють на числової прямої і додають до них точки, в яких похідна не визначена. Знаки похідної на одержані проміжках визначають області монотонності, а точки переходу між різними областями є екстремумами функції.
7
Досліджується опуклість функції, знаходяться точки перегину. Дослідження проводиться аналогічно дослідженню на монотонність, але при цьому розглядається друга похідна.
8
Знаходяться точки перетину з осями OX і OY, при цьому y = f (0) - перетин з віссю OY, f (x) = 0 - перетин з віссю OX.
9
Визначаються межі на кінцях області визначення.
10
Будується графік функції.
11
За графіком визначається область значень функції і обмеженість функції.