Як знайти кути трикутника за трьома його сторонам. Як знайти кути рівнобедреного трикутника.

Трикутником називають геометричну фігуру з трьома сторонами і трьома кутами. Знаходження всіх цих шести елементів трикутника є одним із завдань математики. Якщо відомі довжини сторін трикутника, то за допомогою тригонометричних функцій можна обчислити кути між сторонами.
Вам знадобиться
  • базове знання тригонометрії
Інструкція
1
Нехай заданий трикутник зі сторонами a, b і с. При цьому сума довжин двох будь-яких сторін трикутника повинна бути більше довжини третьої сторони, тобто a + b> c, b + c> a і a + c> b. І необхідно знайти градусну міру усіх кутів цього трикутника. Нехай кут між сторонами a і b позначений як?, Кут між b і c як?, А кут між c і a як?.
2
Теорема косинусів звучить так: квадрат довжини сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших довжин його сторін мінус подвоєний добуток цих довжин сторін на косинус кута між ними. Тобто складіть три рівності: a? = B? + C 2? B? C? Cos (?); b? = a? + c 2? a? c? cos (?); c? = a? + b 2? a? b? cos (?).
3
З отриманих рівностей висловіть косинуси кутів: cos (?) = (B? + C a?)? (2? B? C); cos (?) = (a? + c b?)? (2? a? c); cos (?) = (a? + b c?)? (2? a? b). Тепер, коли відомі косинуси кутів трикутника, щоб знайти самі кути скористайтеся таблицями Брадиса або візьміть з цих виразів арккосинуса:? = Arccos (cos (?)); ? = Arccos (cos (?)); ? = Arccos (cos (?)).
4
Наприклад, нехай a = 3, b = 7, c = 6. Тоді cos (?) = (3? +7 6?)? (2? 3? 7) = 11/21 і 58,4 °; cos (?) = (7? +6 3?)? (2? 7? 6) = 19/21 і 25,2 °; cos (?) = (3? +6 7?)? (2? 3? 6) = - 1/9 і 96,4 °.
5
Це ж завдання можна вирішити іншим способом через площу трикутника. Спочатку знайдіть напівпериметр трикутника за формулою p = (a + b + c)? 2. Потім порахуйте площа трикутника за формулою Герона S =? (P? (P? A)? (P? B)? (P? C)), тобто площа трикутника дорівнює квадратному кореню з добутку напівпериметр трикутника і різниць напівпериметр і кожної зі сторін трикутника.
6
З іншого боку, площа трикутника дорівнює половині твори довжин двох сторін на синус кута між ними. Виходить S = 0,5? A? B? Sin (?) = 0,5? B? C? Sin (?) = 0,5? A? C? Sin (?). Тепер з цієї формули висловіть синуси кутів і підставте отримане в 5 кроці значення площі трикутника: sin (?) = 2? S? (A? B); sin (?) = 2? S? (b? c); sin (?) = 2? S? (a? c). Таким чином, знаючи синуси кутів, щоб знайти градусну міру, використовуйте таблиці Брадиса або порахуйте арксинуса цих виразів:? = Arccsin (sin (?)); ? = Arcsin (sin (?)); ? = Arcsin (sin (?)).
7
Наприклад, нехай дано такий же трикутник зі сторонами a = 3, b = 7, c = 6. Напівпериметр дорівнює p = (3 + 7 + 6)? 2 = 8, площа S =? (8? (8? 3)? (8? 7)? (8? 6)) = 4? 5. Тоді sin (?) = 2? 4? 5? (3? 7) = 8? 5/21 і 58,4 °; sin (?) = 2? 4? 5? (7? 6) = 4? 5/21 і 25,2 °; sin (?) = 2? 4? 5? (3? 6) = 4? 5/9 і 96,4 °.
Корисна порада
Сума кутів трикутника завжди дорівнює 180 градусів. Тому можна обчислити тільки два кута трикутника, а третій отримати шляхом вирахування з 180 суми цих двох кутів.