Як знайти кут між двома векторами. Як обчислити кут між двома векторами за координатами.

Кут між двома векторами, що виходять з однієї точки, це найкоротший кут, на який необхідно повернути один з векторів навколо свого початку до положення другого вектора. Визначити градусну міру цього кута можна, якщо відомі координати векторів.
Інструкція
1
Нехай на площині задані два ненульових вектора, відкладені від однієї точки: вектор A з координатами (x1, y1) і вектор B з координатами (x2, y2). Кут між ними позначений як ?. Щоб знайти градусну міру кута? необхідно скористатися визначенням скалярного твору.
2
Скалярним твором двох ненульових векторів називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними, тобто (A, B) = | A | * | B | * cos (?). Тепер потрібно висловити з цього запису косинус кута: cos (?) = (A, B)/(| A | * | B |).
3
Скалярний добуток можна знайти також за формулою (A, B) = x1 * x2 + y1 * y2, так як скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів. Якщо скалярний добуток ненульових векторів дорівнює нулю, то вектори є перпендикулярними (кут між ними дорівнює 90 градусів) і подальші обчислення можна не проводити. Якщо скалярний добуток двох векторів позитивно, то кут між цими векторами гострий, а якщо негативно, то кут тупий.
4
Тепер порахуйте довжини векторів A і B за формулами: | A | =? (X1? + Y1?), | B | =? (X2? + Y2?). Довжина вектора обчислюється як квадратний корінь з суми квадратів його координат.
5
Знайдені значення скалярного твори і довжин векторів підставте в отриману в кроці 2 формулу для знаходження косинуса кута, тобто cos (?) = (X1 * x2 + y1 * y2)/(? (X1? + Y1?) +? (x2? + y2?)). Тепер, знаючи значення косинуса, щоб знайти градусну міру кута між векторами потрібно скористатися таблицею Брадіса або взяти з цього виразу арккосинус:? = Arccos (cos (?)).
6
Якщо вектори A і B задані в тривимірному просторі і мають координати (x1, y1, z1) і (x2, y2, z2) відповідно, то при знаходженні косинуса кута додається ще одна координата. У цьому випадку косинус кута дорівнює: cos (?) = (X1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2)/(? (X1? + Y1? + Z1?) +? (X2? + Y2? + Z2?) ).
Корисна порада
Якщо два вектори відкладені немає від однієї точки, то для знаходження кута між ними паралельним переносом потрібно поєднати початку цих векторов.Угол між двома векторами не може бути більше 180 градусів.
Для вирішення багатьох завдань, як прикладних, так і теоретичних, у фізиці і лінійної алгебри необхідно обчислювати кут між векторами. Ця проста на перший погляд завдання здатна доставити безліч труднощів, якщо ви чітко не засвоїте сутність скалярного твори і яка величина з'являється в результаті цього твору.
Інструкція
1
Кут між векторами у векторному лінійному просторі - мінімальний кут при повороті, на який досягається сонаправленнимі векторів. Здійснюється поворот одного з векторів навколо його початкової точки. З визначення стає очевидно, що значення кута не може перевищувати 180 градусів (cм. Малюнок до кроку).
2
При цьому абсолютно справедливо передбачається, що в лінійному просторі при здійсненні паралельного перенесення векторів кут між ними не змінюється. Тому для аналітичного розрахунку кута просторова орієнтація векторів не має значення.
3
При знаходженні кута використовуйте визначення скалярного твори для векторів. Дана операція позначається наступним чином (див. Малюнок до кроку).
4
Результат скалярного твори - число, інакше скаляр. Запам'ятайте (це важливо знати), щоб не допустити в подальших розрахунках помилок. Формула скалярного твори, розташованих на площині або в просторі векторів, має вигляд (див. Малюнок до кроку).
5
Це вираз справедливо тільки для ненульових векторів. Звідси висловіть кут між векторами (див. Малюнок до кроку).
6
Якщо система координат, в якій розташовуються вектори, є декартовій, то вираз для визначення кута можна переписати в наступному вигляді (див. Малюнок до кроку).
7
Якщо вектора розташовуються в просторі, то розрахунок проводите аналогічним способом. Єдиною відмінністю буде поява третього доданка в подільному - це доданок відповідає за аплікат, тобто третього компоненту вектора. Відповідно, при обчисленні модуля векторів компоненту z також необхідно врахувати, тоді для векторів, розташованих в просторі, останній вираз перетворюється таким чином (див. Малюнок 6 до кроку).