Як знайти катет прямокутного трикутника, якщо відома гіпотенуза. Як знайти гіпотінузу якщо відомо два катета.

Трикутник - це частина площини, обмежена трьома відрізками прямих, званих сторонами трикутника, мають попарно за одним загальним кінця, званих вершинами трикутника. Якщо один з кутів трикутника прямий (дорівнює 90 °), то трикутник називається прямокутним.
Інструкція
1
Сторони прямокутного трикутника, прилеглі до прямого кута (AB і BC), називаються катетами. Сторона, що лежить навпроти прямого кута, називається гіпотенузою (AC) .Нехай нам відома гіпотенуза AC прямокутного трикутника ABC: | AC | = c. Позначимо кут з вершиною в точці A как , кут з вершиною в точці B как . Нам необхідно знайти довжини | AB | і | BC | катетів.
2
Нехай відомий один з катетів прямокутного трикутника. Припустимо | BC | = b. Тоді ми можемо скористатися теоремою Піфагора, згідно з якою квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. З даного рівняння знаходимо невідомий катет | AB | = a =? (C ^ 2 - b ^ 2).
3
Нехай відомий один з кутів прямокутного трикутника, припустимо . Тоді катети AB і BC прямокутного трикутника ABC можна знайти, використовуючи тригонометричні функції. Так отримуємо: синус дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи sin? = B/c, косинус дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи cos? = A/c. Звідси знаходимо необхідні довжини сторін: | AB | = a = с * cos?, | BC | = b = c * sin?.
4
Нехай відомо співвідношення катетів k = a/b. Також вирішуємо задачу з використанням тригонометричних функцій. Ставлення a/b є ні що інше, як котангенс : відношення прилеглого катета до протилежного ctg? = A/b. В цьому випадку з даного рівності висловлюємо a = b * ctg?. І підставляємо в теорему Піфагора a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2: b ^ 2 * ctg ^ 2? + B ^ 2 = c ^ 2. Виносимо b ^ 2 за дужки, отримуємо b ^ 2 * (ctg ^ 2? + 1) = c ^ 2. І звідси легко отримуємо довжину катета b = c/? (Ctg ^ 2? + 1) = c/? (K ^ 2 + 1), де k - задане співвідношення катетов.По аналогії, якщо відомо співвідношення катетів b/a, вирішуємо задачу з застосуванням тригонометричної функції тангенс tg? = B/a. Підставляємо значення b = a * tg? в теорему Піфагора a ^ 2 * tg ^ 2? + A ^ 2 = c ^ 2. Звідси a = c/? (Tg ^ 2? + 1) = c/? (K ^ 2 + 1), де k - задане співвідношення катетів.
5
Розглянемо окремі випадки. = 30 °. Тоді | AB | = a = c * cos? = C *? 3/2; | BC | = b = c * sin? = C/2. = 45 °. Тоді | AB | = | BC | = a = b = c *? 2/2.
Відео по темі
 http://www.youtube.com/watch?v=XWzHUBvug1Q
Зверніть увагу
Квадратні коріння витягуються з позитивним знаком, т.к. довжина не може бути негативною величиною. Це здається очевидним, але дана помилка дуже поширена, якщо вирішувати задачу на автоматі.
Корисна порада
Для знаходження катетів прямокутного трикутника зручно використовувати формули приведення: sin? = Sin (90 ° -?) = Cos?; cos? = Cos (90 ° -?) = Sin?.