Як знайти кути трикутника за довжинами його сторін. кут прямого трикутника.

Є кілька варіантів знаходження величин всіх кутів в трикутнику, якщо відомі довжини трьох його сторін . Один із способів полягає у використанні двох різних формул обчислення площі трикутника. Для спрощення розрахунків можна також застосувати теорему синусів і теорему про суму кутів трикутника.
Інструкція
1
Скористайтеся, наприклад, двома формулами обчислення площі трикутника, в одній з яких задіяні тільки три його відомих сторін и (формула Герона), а в іншій - два сторін и і синус кута між ними. Використовуючи в другій формулі різні пари сторін , ви зможете визначити величини кожного з кутів трикутника.
2
Вирішіть задачу в загальному вигляді. Формула Герона визначає площу трикутника, як квадратний корінь з добутку напівпериметр (половини від суми всіх сторін ) на різниці між напівпериметр і кожної з сторін . Якщо замінити периметр сумою сторін , то формулу можна записати в такому вигляді: S = 0,25 (a + b + c)? (B + ca)? (A + cb)? (A + bc) .C другий сторін и площа трикутника можна виразити як половину твору двох його сторін на синус кута між ними. Наприклад, для сторін a і b з кутом? між ними цю формулу можна записати так: S = a? b? sin (?). Замініть ліву частину рівності формулою Герона: 0,25 (a + b + c)? (B + ca)? (A + cb)? (A + bc) = a? B? Sin (?). Виведіть з цієї рівності формулу для синуса кута?: Sin (?) = 0,25 (a + b + c)? (B + ca)? (A + cb)? (A + bc)/(a? B ?)
3
Аналогічні формули для двох інших кутів: sin (?) = 0,25 (a + b + c)? (B + ca)? (A + cb)? (A + bc)/(b ? c?) sin (?) = 0,25 (a + b + c)? (b + ca)? (a + cb)? (a + bc)/(a? c?) Замість цих формул можна скористатися теоремою синусів, з якої витікає, що співвідношення сторін і синусів протилежних їм кутів в трикутнику рівні. Тобто, обчисливши в попередньому кроці синус одного з кутів, можна знайти синус іншого кутка за простішою формулою: sin (?) = Sin (?)? A/c. А виходячи з того, що сума кутів в трикутнику дорівнює 180 °, третій кут можна розрахувати ще простіше:? = 180 ° -? - ?.
4
Використовуйте, наприклад, стандартний калькулятор Windows для знаходження величин кутів в градусах після того, як по формулам розрахуєте значення синусів цих кутів. Щоб це зробити, застосовуйте тригонометричну функцію, зворотну синусу - арксинус.
Тре косинець , один з кутів якого є прямим (дорівнює 90 °), називають прямокутним. Його найдовша сторона завжди лежить навпроти прямого кута і називається гіпотенузою, а дві інші боку називають катетами. Якщо довжини цих трьох сторін відомі, то знайти величини всіх кутів тре косинець а не складе труднощів, так як фактично буде потрібно обчислити всього один з кутів. Зробити це можна кількома способами.
Інструкція
1
Використовуйте для обчислення величин кутів (?,?,?) Визначення тригонометричних функцій через прямокутний тре косинець . Таке визначення, наприклад, для синуса гострого кута формулюється як відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи. Значить, якщо відомі довжини катетів (A і B) і гіпотенузи (C), то знайти, наприклад, синус кута?, Лежачого навпроти катета A можна, розділивши довжину боку А на довжину боку C (гіпотенузи): sin (?) = A/C. Дізнавшись значення синуса цього кута можна знайти його величину в градусах, використавши зворотну синусу функцію - арксинус. Тобто? = Arcsin (sin (?)) = Arcsin (A/C). Таким же способом можна знайти і величину іншого гострого кута в тре косинець е, але в цьому немає необхідності. Так як сума всіх кутів тре косинець а завжди становить 180 °, а в прямокутному тре косинець е один з кутів дорівнює 90 °, то величину третього кута можна порахувати як різниця між 90 ° і величиною знайденого кута:? = 180 ° -90 ° -? = 90 ° - ?.
2
Замість визначення синуса можна використовувати визначення косинуса гострого кута, яке формулюється як відношення довжини прилеглого до шуканого кутку катета до довжини гіпотенузи: cos (?) = B/C. І тут задійте зворотну тригонометричну функцію (арккосинус), щоб знайти величину кута в градусах:? = Arccos (cos (?)) = Arccos (B/C). Після цього, як і в попередньому кроці, залишиться знайти величину відсутнього кута:? = 90 ° - ?.
3
Можна скористатися аналогічним визначенням тангенса - він виражається співвідношенням довжини протилежного шуканого кутку катета до довжини катета прилежащего: tg (?) = A/B. Величину кута в градусах знову визначайте через зворотній тригонометричну функцію - арктангенс:? = Arctg (tg (?)) = Arctg (A/B). Формула величини відсутнього кута залишиться без змін:? = 90 ° - ?.