Як знайти нормальний вектор до площини.

Нормальним вектором площині (або нормаллю площині) називають вектор, перпендикулярний даної площині. Одним із способів задати площину є зазначення координат її нормалі і точки, лежачої на площині. Якщо площину задана рівнянням Ax + By + Cz + D = 0, то нормальним до неї є вектор з координатами (A; B; C). В інших випадках для обчислення нормального вектора доведеться потрудитися.
Інструкція
1
Нехай площину задана трьома належними їй точками K (xk; yk; zk), M (xm; ym; zm), P (xp; yp; zp). Щоб знайти нормальний вектор, складемо рівняння цієї площині. Позначте довільну точку, що лежить на площині, буквою L, хай у неї будуть координати (x; y; z). Тепер розгляньте три вектора PK, PM і PL, вони лежать на одній площині (компланарність), тому їх змішане твір дорівнює нулю.
2
Знайдіть координати векторів PK, PM і PL: PK = (xk-xp; yk-yp; zk-zp) PM = (xm-xp; ym-yp; zm-zp) PL = (x-xp ; y-yp; z-zp) Змішане твір цих векторів дорівнюватиме определителю, представленому на малюнку. Цей визначник слід обчислити, щоб знайти рівняння для площині. Обчислення змішаного твори для конкретного випадку дивіться в прикладі.
3
ПрімерПусть площину задана трьома точками K (2; 1; -2), M (0; 0; -1) і P (1; 8; 1). Потрібно знайти нормальний вектор площині .Возьміте довільну точку L з координатами (x; y; z). Обчисліть вектори PK, PM і PL: PK = (2-1; 1-8; -2-1) = (1; -7; -3) PM = (0-1; 0-8; -1-1) = (-1; -8; -2) PL = (x-1; y-8; z-1) Складіть визначник для змішаного добутку векторів (він на малюнку).
4
Тепер розкладіть визначник по першому рядку, а потім підрахуйте значення визначників розміру 2 на 2.Так чином рівняння площині -10x + 5y - 15z - 15 = 0 або, що те ж, - 2x + y - 3z - 3 = 0. Звідси легко визначити вектор нормалі до площині: n = (-2; 1; -3).
Перед тим як відповісти на поставлене запитання, потрібно визначити, нормаль чого саме необхідно шукати. В даному випадку, імовірно, в задачі розглядається якась поверхню.
Інструкція
1
Приступаючи до вирішення поставленого завдання, слід пам'ятати, що нормаль до поверхні визначається як нормаль до дотичної площини. Виходячи саме з цього і буде вибиратися методика рішення.
2
Графік функції двох змінних z = f (x, y) = z (x, y) - це поверхня в просторі. Таким чином її найчастіше і задають. В першу чергу необхідно знайти дотичну площину до поверхні в деякій точці М0 (x0, y0, z0), де z0 = z (x0, y0).
3
Для цього слід згадати, що геометричний зміст похідної функції одного аргументу, це кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці, де y0 = f (x0). Приватні похідні функції двох аргументів знаходять, фіксуючи «зайвий» аргумент точно так само, як і похідні звичайних функцій. Значить геометричний сенс приватної похідною по x функції z = z (x, y) в точці (x0, y0) полягає в рівності її кутового коефіцієнта дотичної, до кривої, утвореною перетином поверхні і площини y = y0 (див. Рис. 1).
4
Дані, відображені на рис. 1, дозволяють зробити висновок, що рівняння дотичної до поверхні z = z (x, y), що містить точку М0 (xo, y0, z0) в перерізі при y = y0: m (x-x0) = (z-z0), y = y0. У канонічному вигляді можна записати: (x-x0)/(1/m) = (z-z0)/1, y = y0. Значить направляючий вектор цієї дотичної s1 (1/m, 0, 1).
5
Тепер, якщо кутовий коефіцієнт щодо для приватної похідною по y позначити n, то абсолютно очевидно, що аналогічно попередньому висловом, це призведе до (y-y0)/(1/n) = (z-z0), x = x0 і s2 (0, 1/n, 1).
6
Далі просування рішення у вигляді пошуку рівняння дотичної площини можна припинити і перейти безпосередньо до шуканої нормалі n. Її можна отримати як вектор ное твір n = [s1, s2]. Обчисливши його, буде визначено, що в заданій точці поверхні (x0, y0, z0). n = {- 1/n, -1/m, 1/mn}.
7
Так як будь пропорційний вектор також залишиться вектор ом нормалі, найзручніше відповідь представити у вигляді n = {- n, -m, 1} і остаточно n (дz/дx, дz/дx, -1).
Зверніть увагу
У незамкненою поверхні є дві сторони. В даному випадку відповідь дан для «верхньої» сторони, там де нормаль утворює гострий кут з віссю 0Z.