Як побудувати гіперболоїд. побудувати графік еліпса.

Початкові знання про гіперболі стають відомі зі шкільного курсу геометрії. Надалі, вивчаючи у вузі аналітичну геометрію, яких навчають отримують додаткові уявлення про гіперболі, Гіперболоїд та їх властивості.
Інструкція
1
Уявіть, що мається гіпербола і деяка лінія, яка проходить через початок координат. Якщо гіперболу почати обертати навколо цієї осі, виникне порожнисте тіло обертання, яке називається гіперболоїдом. Існує два види гіперболоїдів: однопорожнинний і двуполостной. Однопорожнинний гіперболоїд задається рівнянням виду: x ^ 2/a ^ 2 + y ^ 2/b ^ 2-z ^ 2/c ^ 2 = 1Якщо розглядати дану просторову фігуру щодо площин Oxz і Oyz, можна помітити, що основними її перетинами є гіперболи . Однак, перетином однополостного гіперболоїда площиною Oxy є еліпс. Найменший еліпс гиперболоида називається горловим еліпсом. У цьому випадку, z = 0, а еліпс проходить через початок координат. Рівняння горлового еліпса при z = 0 записується таким чином: x ^ 2/a ^ 2 + y ^ 2/b ^ 2 = 1Остальние еліпси мають рівняння такого вигляду: x ^ 2/a ^ 2 + y ^ 2/b ^ 2 = 1 + h ^ 2/c ^ 2, де h - висота однополостного гіперболоїда.
2
Побудова гиперболоида почніть із зображення гіперболи в площині Xoz. Начартом дійсну піввісь, яка збігається з віссю y і уявну піввісь, збігається з z. Побудуйте гіперболу, а потім задайте деяку висоту h гіперболоїда. Після цього, на рівні заданої висоти проведіть прямі, паралельні Ox і перетинають графік гіперболи в нижніх і верхніх точках.Затем аналогічним чином у площині Oyz побудуйте гіперболу, де b - дійсна піввісь, що проходить через вісь y, а з - уявна піввісь, також збігається з c.Постройте в площині Oxy паралелограм, який виходить шляхом з'єднання точок графіків гіпербол. Накресліть горловий еліпс таким чином, щоб він був вписаний в цей паралелограм. Аналогічним чином побудуйте інші еліпси. В результаті вийде креслення тіла обертання - однополостного гіперболоїда, зображеного на рис.1
3
двуполостной гіперболоїд отримав свою назву через двох різних поверхонь, які утворені віссю Oz. Рівняння такого гиперболоида має наступний вигляд: x ^ 2/a ^ 2 + y ^ 2/b ^ 2 -z ^ 2/c ^ 2 = -1Две порожнини виходять при побудові гіперболи в площині Oxz і Oyz. У двуполостного гиперболоида перетину - еліпси: x ^ 2/a ^ 2-y ^ 2/b ^ 2 = h ^ 2/c ^ 2-1Также, як і у випадку з однополостного гіперболоїдом, побудуйте в площинах Oxz і Oyz гіперболи, які будуть розташовуватися таким чином, як показано на малюнку 2. Побудуйте внизу і нагорі паралелограми для побудови еліпсів. Побудувавши еліпси, приберіть все проекції побудови, а потім накресліть двуполостной гіперболоїд.
Однополосний гіперболоїд являє собою фігуру обертання. Щоб побудувати його, потрібно дотримуватися певної методики. Спочатку викреслюються півосі, потім, гіперболи і еліпси. З'єднання всіх цих елементів допоможе скласти вже саму просторову фігуру.
Вам знадобиться
  • - олівець,
  • - папір,
  • - математичний довідник.
Інструкція
1
Зобразіть гіперболу в площині Xoz. Для цього накресліть дві півосі, що збігаються з віссю y (дійсна піввісь) і з віссю z (уявна піввісь). Побудуйте на базі них гіперболу. Після цього задайте певну висоту h гіперболоїд а. На завершення на рівні цієї заданої висоти проведіть прямі, які будуть паралельні Ox і перетинають при цьому графік гіперболи в двох точках: нижньої і верхньої.
2
Повторіть вищеописані дії в іншій площині - Oyz. Тут побудуйте гіперболу, в якій дійсна піввісь проходить через вісь y, а уявна - збігається з c.
3
Побудуйте паралелограм в площині Oxy. Для цього з'єднаєте точки графіків гіпербол. Потім Вичертите горловий еліпс з урахуванням того, щоб він вписався в побудований раніше паралелограм.
4
Повторіть вищеописані дії при побудові інших еліпсів. Зрештою сформується креслення однополостного гіперболоїд а.
5
Однопорожнинний гіперболоїд описується зображеним рівнянням, де a і b - дійсні, c - уявна піввісь. Тобто його координатні площині є одночасно ще й площинами симетрії, а початок координат являє собою центр симетрії даної просторової фігури.
Зверніть увагу
Якщо дві півосі однополосного гиперболоида рівні, то фігуру можна отримати шляхом обертання гіперболи з півосями, одна з яких вищевказана, а інша, відмінна від двох рівних, навколо уявної осі.
Корисна порада
При розгляді цієї фігури відносно осей Oxz і Oyz видно, що її головними перерізами є гіперболи. А при розрізі даної просторової фігури обертання площиною Oxy її перетин являє собою еліпс. Горловий еліпс однополосного гиперболоида проходить через початок координат, адже z = 0.Горловой еліпс описується рівнянням x?/A? + Y?/B? = 1, а інші еліпси складаються за рівнянням x?/A? + Y?/B? = 1 + h?/C?.