Як знайти асимптоти графіка функції.

Асимптоти - це прямі, до яких необмежено наближається крива графіка функції при прагненні аргументу функції до нескінченності. Перш ніж приступити до побудови графіка функції, потрібно знайти всі вертикальні і похилі (горизонтальні) асимптоти, якщо вони існують.
Інструкція
1
Знайдіть вертикальні асимптоти. Нехай дана функція y = f (x). Знайдіть її область визначення та виділіть всі точки a, в яких ця функція не визначена. Підрахуйте межі lim (f (x)), коли x прагне до a, к (a + 0) або до (a? 0). Якщо хоча б один такий межа дорівнює +? (Або -?), То вертикальної асимптотой графіка функції f (x) буде пряма x = a. Обчисливши два односторонніх межі, ви визначите як себе веде функція при наближенні до асимптоти з різних сторін.
2
Вивчіть кілька прикладів. Нехай функція y = 1/(x 1). Підрахуйте межі lim (1/(x 1)), коли x прагне до (1 ± 0), (-1 ± 0). Функція має вертикальні асимптоти x = 1 і x = -1, так як ці межі дорівнюють + ?. Нехай дана функція y = cos (1/x). У цієї функції немає вертикальної асимптоти x = 0, так як область зміни функції косинус відрізок [-1; +1] І її межа ніколи не буде дорівнює ±? при будь-яких значеннях x.
3
Знайдіть тепер похилі асимптоти. Для цього підрахуйте межі k = lim (f (x)/x) і b = lim (f (x)? K? X) при x, що прагне до +? (Або -?). Якщо вони існують, то похила асимптота графіка функції f (x) буде задана рівнянням прямої y = k? X + b. Якщо k = 0, пряма y = b називається горизонтальною асимптотой.
4
Розгляньте для найкращого розуміння наступний приклад. Нехай дана функція y = 2? X? (1/x). Підрахуйте межа lim (2? X? (1/x)) при x, що прагне до 0. Цей межа дорівнює?. Тобто вертикальної асимптотой функції y = 2? X? (1/x) буде пряма x = 0. Знайдіть коефіцієнти рівняння похилій асимптоти. Для цього підрахуйте межа k = lim ((2? X? (1/x))/x) = lim (2? (1/x?)) При x, що прагнуть до + ?, тобто виходить k = 2. І тепер підрахуйте межа b = lim (2? X? (1/x)? K? X) = lim (2? X? (1/x)? 2? X) = lim (-1/x) при x, прагнуть до + ?, тобто b = 0. Таким чином, похила асимптота даної функції задана рівнянням y = 2? X.
5
Зверніть увагу, що асимптота може перетинати криву. Наприклад, для функції y = x + e ^ (- x/3)? Sin (x) межа lim (x + e ^ (- x/3)? Sin (x)) = 1 при x, що прагнуть до?, А lim (x + e ^ (- x/3)? sin (x)? x) = 0 при x, що прагнуть до?. Тобто асимптотой буде пряма y = x. Вона перетинає графік функції в декількох точках, наприклад, в точці x = 0.
Зверніть увагу
Знак ^ позначає зведення в ступінь.
Повне дослідження функції і побудова її графіка припускають цілий спектр дій, включаючи знаходження асимптот, які бувають вертикальними, похилими і горизонтальними.
Інструкція
1
Асимптоти функції застосовуються для полегшення побудови її графіка, а також дослідження властивостей її поведінки. Асимптота - це пряма лінія, до якої наближається нескінченна гілка кривої, заданої функцією. Розрізняють вертикальні, похилі і горизонтальні асимптоти.
2
Вертикальні асимптоти функції паралельні осі ординат, це прямі виду x = x0, де x0 - гранична точка області визначення. Граничної називається точка, в якій односторонні межі функції є нескінченними. Для того, щоб знайти асимптоти цього роду, потрібно досліджувати її поведінку, обчисливши межі.
3
Знайдіть вертикальну асимптоту функції f (х) = х?/(4 • х? - 1). Для початку визначте її область визначення. Це може бути тільки значення, при якому знаменник звертається в нуль, тобто вирішите рівняння 4 • х? - 1 = 0? х = ± 1/2.
4
Обчисліть односторонні межі: lim_ (х? -1/2) Х?/(4 • х? - 1) = lim х?/((2 • х - 1) • (2 • х + 1) ) = + ?. lim_ (х? 1/2) х?/(4 • х? - 1) = - ?.
5
Таким чином, ви з'ясували, що обидва односторонніх межі є нескінченними. Отже, прямі х = 1/2 і х = -1/2 є вертикальними асимптотами.
6
Похилі асимптоти - це прямі виду k • х + b, в яких k = lim f/г та b = lim (f - k • х) при х . Така асимптота стане горизонтальною при k = 0 і b .
7
Дізнайтеся, чи має функція з попереднього прикладу похилі або горизонтальні асимптоти. Для цього визначте коефіцієнти рівняння прямої асимптоти через наступні межі: k = lim (х?/(4 • х? - 1))/х = 0; b = lim (х?/(4 • х? - 1) - k • х) = lim х?/(4 • х? - 1) = 1/4.
8
Отже, у цій функції є і похила асимптота, а оскільки виконується умова нульового коефіцієнта k і b, що не рівного нескінченності, то вона горізонтальная.Ответ: функція х?/(4 • х ? - 1) має дві вертикальні x = 1/2; x = -1/2 і одну горизонтальну у = 1/4 асимптоти.