Як визначити збіжність ряду. Як підрахувати збіжність результатів.

Числовим поруч називають суму членів нескінченної послідовності. Частковими сумами ряду називають суму перших n членів ряду . Ряд буде збіжним, якщо сходиться послідовність його часткових сум.
Вам знадобиться
  • Уміння обчислювати межі послідовностей.
Інструкція
1
Визначте формулу загального члена ряду . Нехай дано ряд x1 + x2 + ... + xn + ..., його загальний член має вигляд xn. Скористайтеся ознакою Коші визначення збіжності ряду . Порахуйте межа lim ((xn) ^ (1/n)) при n прагне до?. Нехай він існує і дорівнює L, тоді якщо L <1, то ряд сходиться, якщо L> 1, то ряд розходиться, а якщо L = 1, то необхідно додатково досліджувати ряд на збіжність.
2
Розгляньте приклади. Нехай дано ряд 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., загальний член ряду представляється у вигляді 1/(2 ^ n). Знайдіть межа lim ((1/(2 ^ n) ^ (1/n)) при n прагне до?. Цей межа дорівнює 1/2 <1 і, отже, ряд 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... сходиться. Або, наприклад, нехай є ряд 1 + 16/9 + 216/64 + .... Уявіть загальний член ряду у вигляді формули (2? n/(n + 1)) ^ n. Порахуйте межа lim (((2? n/(n + 1)) ^ n) ^ (1/n)) = lim (2? n/(n + 1)) при n прагне до?. Межа дорівнює 2> 1 , тобто даний ряд розходиться.
3
Визначте збіжність ряду за ознакою Даламбера. Для цього порахуйте межа lim ((xn + 1)/xn) при n прагне до?. Якщо ця межа існує і дорівнює M <1, то ряд сходиться, якщо M> 1, то ряд розходиться. Якщо M = 1, то ряд може бути сходяться і розходяться.
4
Вивчіть кілька прикладів. Нехай дано ряд? (2 ^ n/n!). Порахуйте межа lim ((2 ^ (n + 1)/(n + 1)!)? (N!/2 ^ n)) = lim (2/(n + 1)) при n прагне до?. Він дорівнює 0 <1 і даний ряд є збіжним. Нехай тепер дано ряд? N!? (6/n) ^ n. Обчисліть межа lim ((n + 1) !? 6 ^ (n + 1)? N ^ n)/((n + 1) ^ (n + 1)? N!? 6 ^ n) = lim (6/( 1 + 1/n) ^ n) = 6/e> 1 і значить даний ряд розходиться.
5
Скористайтеся ознакою Лейбніца для Знакозмінні ряду за умови, що xn> x (n + 1). Порахуйте межа lim (xn) при n прагне до?. Якщо ця межа дорівнює 0, то ряд сходиться, його сума позитивна і не перевершує першого члена ряду . Наприклад, нехай дано ряд 1? 1/2 + 1/3? 1/4 + .... Зауважте, що 1> 1/2> 1/3> ...> 1/n> .... Загальний член ряду буде 1/n. Порахуйте межа lim (1/n) при n прагне до?. Він дорівнює 0 і, отже, ряд сходиться.
Зверніть увагу
Знак ^ позначає зведення в ступінь.