Як знайти медіану рівнобедреного трикутника.

Трикутник називається рівнобедреним, якщо у нього є дві рівних сторони. Вони називаються бічними. Третя сторона називається підставою рівнобедреного трикутника. Такий трикутник має низку специфічних властивостей. Медіани, проведені до бічних сторін, рівні. Таким чином в трикутник дві різні медіани, одна проведена до основи трикутника, друга - до бічної сторони.
Інструкція
1
Нехай дано трикутник ABC, який є рівнобедреним. Відомі довжини його бічної сторони і підстави. Треба знайти медіану, опущену на підставу цього трикутника. У трикутник ця медіана є одночасно медіаною, бісектрисою і висотою. Завдяки цій властивості, знайти медіану до основи трикутника дуже просто. Скористайтеся теоремою Піфагора для прямокутного трикутника ABD: AB? = BD? + AD ?, де BD - шукана медіана, AB - бічна сторона (для зручності нехай вона дорівнює a), а AD - половина підстави (для зручності візьміть підставу рівним b). Тоді BD? = A? - B?/4. Знайдіть корінь з цього виразу і отримаєте довжину медіани.
2
Трохи більше складно йдуть справи з медианой, проведеної до бічної сторони. Для початку покажіть обидві таких медіани на малюнку. Ці медіани рівні. Позначте бічну сторону буквою a, а підстава - b. Позначте рівні кути при основі?. Кожна з медиан ділить бічну сторону на дві рівні частини a/2. Позначте довжину шуканої медіани x.
3
За теоремою косинусів можна виразити будь-яку сторону трикутника через дві інші і косинус кута між ними. Запишемо теорему косинусів для трикутника AEC: AE? = AC? + CE? - 2AC · CE · cos? ACE. Або, що те ж, (3x)? = (A/2)? + B? - 2 · ab/2 · cos? = A?/4 + b? - Ab · cos ?. За умовами задачі боку відомі, а ось кут при основі немає, тому обчислення тривають.
4
Тепер застосуєте теорему косинусів до трикутника ABC, щоб знайти кут при підставі: AB? = AC? + BC? - 2AC · BC · cos? ACB. Іншими словами, a? = A? + B? - 2ab · cos ?. Тоді cos? = B/(2a). Підставте цей вираз в попереднє: x? = A?/4 + b? - Ab · cos? = A?/4 + b? - Ab · b/(2a) = a?/4 + b? - B?/2 = (a? + 2b?)/4. Обчисливши корінь правої частини виразу, ви знайдете медіану, проведену до бічної сторони.