Як знайти висоту тетраедра.

Тетраедр є окремим випадком піраміди. Всі його межі являють собою трикутники. Крім правильного тетраедра, у якого всі грані являють собою рівносторонній трикутник, є ще кілька видів цього геометричного тіла. Розрізняють равногранного, прямокутний, ортоцентрический і каркасний тетраєдри. Для того щоб знайти його висоту, потрібно насамперед визначити його вид.
Вам знадобиться
  • - креслення тетраедра;
  • - олівець;
  • - лінійка.
Інструкція
1
Побудуйте тетраедр із заданими параметрами. В умовах завдання повинні бути дані вид тетраедра, розміри ребер і кути між гранями. Для правильного тетраедра достатньо знати довжину ребра. Як правило, мова йде про правильні рівносторонніх тетраедрах.
2
Повторіть властивості рівносторонніх трикутників. У них рівні всі кути і складають по 60 °. Під таким же кутом нахилені всі грані до основи. За основу можна взяти будь-яку сторону.
3
Виконайте необхідні геометричні побудови. Накресліть тетраедр із заданою стороною. Одну з граней його розташуйте строго горизонтально. Позначте трикутник підстави як ABC, а вершину тетраедра - як S. З кута S проведіть до основи висоту. Точку перетину позначте О. Оскільки всі трикутники, з яких складається дане геометричне тіло, рівні між собою, то і висоти, проведені з різних вершин до граней, теж будуть рівні.
4
З тієї ж точки S опустіть висоту і до протилежного ребру АВ. Поставте крапку F. Це ребро є спільним для рівносторонніх трикутників АВС і АВS. З'єднайте точку F з противолежащей даному ребру точкою С. Вона буде одночасно бути заввишки, медіаною і бісектрисою кута С. Знайдіть рівні сторони трикутника FSC. Сторона CS задана в умові і дорівнює a. Тоді FS = а? 3/2. Ця сторона дорівнює FC.
5
Знайдіть периметр трикутника FCS. Він дорівнює половині суми сторін трикутника. Підставивши в формулу значення відомою і знайдених сторін даного трикутника, ви отримаєте формулу p = 1/2 * (a + 2а? 3/2) = 1/2a (1+? 3), де а - задана сторона тетраедра, а p - напівпериметр.
6
Згадайте, чому дорівнює висота рівнобедреного трикутника, проведена до однієї з його рівних сторін. Обчисліть висоту OF. Вона дорівнює кореню квадратному з добутку напівпериметр і його різниць з трьома сторонами, поділеній на довжину сторони FC, тобто на а *? 3/2. Зробіть необхідні скорочення. В результаті у вас вийде формула: висота дорівнює кореню квадратному з двох третин, помноженому на a. H = a *? 2/3.
Корисна порада
Для всіх інших видів тетраедра також необхідно виконати додаткові побудови, щоб висота була одночасно стороною трикутника з відомими вам параметрами. Обчислювати її можна різними способами, використовуючи теорему Піфагора, теореми синусів і косинусів. Спосіб визначається залежно від того, якими даними ви володієте.