Як знайти висоту трикутника по 3 сторонам.

Заввишки трикутника називається перпендикуляр, проведений з кутка до протилежні стороні. Висота необов'язково лежить всередині цієї геометричної фігури. У деяких видах трикутників перпендикуляр потрапляє на продовження противолежащей боку і виявляється за межами площі, обмеженою лініями. У будь-якому випадку утворюються нові прямокутні трикутники, частина параметрів яких вам відома. По них можна обчислити висоту.
Вам знадобиться
  • - трикутник із заданими сторонами;
  • - олівець;
  • - кутник;
  • - властивості висоти трикутника;
  • - теорема Герона;
  • - формули площі трикутника.
Інструкція
1
Побудуйте трикутник із заданими сторонами. Позначте його як АВС. Відомі боку позначте цифрами або буквами а, b і с. Сторона а лежить навпроти кута А, сторони b і с - відповідно, навпаки кутів В і С. Проведіть висоти до всіх сторін трикутника і позначте їх як h1, h2 і h3.
2
Висоту трикутника за трьома сторонами можна знайти через різні формули його площі. Згадайте, чому дорівнює площа трикутника. Вона обчислюється перемножением підстави на висоту і діленням отриманого результату на 2. Водночас, площа можна знайти за формулою Герона. В цьому випадку вона дорівнює квадратному кореню з добутку напівпериметр і різниць його з усіма сторонами. Тобто а * h/2 =? P * (pa) * (pb) * (pc), де h - висота, p - напівпериметр, а, b, c - сторони трикутника.
3
Знайдіть напівпериметр. Він обчислюється складанням розмірів всіх сторін. Його можна виразити формулою p = (a + b + c)/2. Замість букв підставте відповідні числові значення. Порахуйте різницю напівпериметр з кожної з його сторін.
4
Знайдіть висоту h1, опущену на сторону a. Вона може бути виражена дробом, в знаменнику якої коштує величина а. Чисельник цього дробу є квадратний корінь з добутку напівпериметр і його різниць з усіма сторонами даного трикутника. h1 = (? p * (p-a) * (p-b) * (p-c))/a,
5
Можна напівпериметр навмисно не обчислювати, а висловити площа за іншим варіантом цієї ж формули. Вона дорівнює чверті квадратного кореня з добутку суми всіх сторін на суми кожних двох із них з віднятої з цієї суми розміром третьої сторони. Тобто S = 1/4 *? (A + b + c) * (a + bc) * (a + cb) * (b + ca). Далі висота обчислюється точно так само, як і в першому випадку.
6
Інші дві висоти можна обчислити по цій же формулі. Але можна скористатися і тим, що ставлення висот між собою пов'язано з відношенням відповідних сторін і може бути виражено формулою h1: h2 = 1/a: 1/b. Вам вже відома h1, а сторони a і b задані в умовах. Тому вирішите пропорцію, перемноживши h1 і 1/а і розділивши все це на 1/b. Точно таким же чином через будь-яку з вже відомих висот можна знайти і третю сторону.
Геометрія - не тільки шкільний предмет, по якому треба отримати хорошу оцінку. Розрахунок висоти трикутника може знадобитися і в практичному житті. Наприклад, якщо ви будуєте будинок з високим дахом і вам треба розрахувати кількість і товщину колод.
Вам знадобиться
  • Лінійка Косинець Олівець Транспортув Таблиці синусів і косинусів
Інструкція
1
Побудуйте трикутник із заданими параметрами. Вам відомі або два кута трикутника і сторона між ними, або кут і довжина двох сторін, між якими він знаходиться, або три сторони.Обозначьте вершини кутів трикутника як А, В і С. Позначте кути відповідно як?,?,? Протилежні сторони позначте як a, b, c.Вспомніте, що таке висота. Це перпендикуляр, проведений з кутка трикутника до його протилежній стороні. Візьміть кутник і проведіть такі перпендикуляри до всіх сторін трикутника. Позначте висоти буквою h з відповідними сторонам трикутника індексами a, b, c.
2
Обчисліть довжину всіх сторін трикутника і всі його кути по теоремам синусів і косінусов.Вичісліте висоту, опущену із заданого кута, по формулі: висота, опущена з кутка С, дорівнює добутку синуса будь-якого іншого кута на довжину прилеглої до нього сторони.
Зверніть увагу
Висоти остроугольного трикутника знаходяться всередині нього. У тупоугольного трикутника одна висота (та, яка йде від тупого кута) проходить всередині трикутника, а дві інші - поза ним. У прямокутного трикутника дві висоти збігаються з катетами, а одна знаходиться всередині трикутника. Всі три висоти перетинаються в ортоцентром, який може знаходитися всередині, поза або на катеті трикутника. У прямокутному трикутнику дві висоти відомі, оскільки вони ж є катетами. Третю висоту знаходимо по теоремі Піфагора, віднявши від квадрата відрізка АС, який є одночасно гипотенузой трикутника СDА, квадрат відрізка АD. Розмір цього відрізка легко обчислити, знаючи про подібність трикутників. Гіпотенуза АВ відноситься до гіпотенузи СВ так само, як катет ВС відноситься до катету DB. Сторони прямокутного трикутника обчислюються за теоремою Піфагора. Сторони остроугольного трикутника обчислюються за теоремам синуса або косинуса
Корисна порада
Для визначення синусів і косинусів користуйтеся математичними таблицями.