Як вирішувати ряди.

Ряди є основою математичного аналізу. Саме тому так важливо навчитися їх правильно вирішувати, так як в подальшому навколо них будуть крутитися інші поняття.
Інструкція
1
При першому знайомстві з рядами інколи дуже важко зрозуміти, як вони влаштовані. Тим більше проблематично вирішувати їх. Але з часом ви наберетеся досвіду і будете орієнтуватися в даному питанні. Передусім необхідно почати з самого елементарного, а саме з вивчення збіжності і расходімості числових рядів. Дана тема є основоположною, тим фундаментом, без якого подальше просування буде неможливо.
2
Далі потрібно визначитися з поняттям часткової суми ряду. Відповідна послідовність існує завжди, але треба зуміти її не тільки побачити, а й правильно скласти. Потім вам буде потрібно знайти межу. Якщо він існує, то ряд буде збіжним. В іншому випадку - розбіжним. Це і буде вирішенням ряду.
3
Вельми часто на практиці зустрічаються ряди, які утворені з елементів геометричної прогресії. Вони називаються геометричними рядами. В цьому випадку, рішенням послужить один немаловажний факт. За умови, що знаменник геометричній прогресії менше одиниці, ряд буде збіжним. Якщо він більше або дорівнює одиниці, то розбіжним.
4
Якщо ж рішення знайти не вдалося, ви можете скористатися необхідною ознакою збіжності рядів. Він говорить, що якщо числовий ряд сходиться, то межа часткових сум дорівнюватиме нулю. Ознака не є достатнім, тому в зворотному напрямку не діє. Але зустрічаються приклади, в яких межа часткових сум виявиться рівним нулю, а значить, рішення знайдено, тобто збіжність ряду буде обґрунтована.
5
Дана теорема не завжди застосовна в складних ситуаціях. Може виявитися, що всі члени ряду позитивні. Для того, щоб відшукати його рішення, вам буде потрібно знайти область значення ряду. А потім, якщо послідовність часткових сум буде обмежена зверху, ряд буде збіжним. В іншому випадку - розбіжним.
Зверніть увагу
1) Якщо числовий ряд сходиться, то він буде сходиться і в разі, якщо кожен член послідовність буде помножений на константу (тобто на постійну) .2) Якщо два ряди сходяться, то і ряд, отриманий за допомогою їх додавання, також буде сходитися.
Корисна порада
1) Пам'ятайте, що всякий ряд є послідовністю. Тож часто зручно при вирішенні переходити до числової сумі. Якщо ви знайдете рішення послідовності, то вам не складе труднощів відшукати рішення ряда.2) При вирішенні геометричного ряду вам не потрібно досконально його досліджувати. Всього лише буде потрібно знайти знаменник геометричної прогресії і порівняти його з одиницею. Цей факт потрібно запам'ятати.
З назви числового ряду очевидно, що це послідовність чисел. Застосовується цей термін в математичному, а також комплексному аналізі як система наближень до чисел. Поняття числового ряду нерозривно пов'язано з поняттям межі, а основною характеристикою є збіжність.
Інструкція
1
Нехай є числова послідовність виду a_1, a_2, a_3, ..., a_n і деяка послідовність s_1, s_2, ..., s_k, де n і k прагнуть до?, А елементи послідовності s_j є сумами деяких членів послідовності a_i. Тоді послідовність a є числовим рядом, а s - послідовністю його часткових сум: s_j =? A_i, де 1? i? j.
2
Задачи на рішення числових рядів зводяться до визначення його збіжності. Кажуть, що ряд сходиться, якщо сходиться послідовність його часткових сум і абсолютно сходиться, якщо послідовність модулів його часткових сум сходиться. І навпаки, якщо розходиться послідовність часткових сум ряду, то він розходиться.
3
Щоб довести збіжність послідовності часткових сум, необхідно перейти до поняття її межі, який називають сумою ряду: S = lim_n ? _ (I = 1) ^ n a_i.
4
Якщо ця межа існує і він кінцевий, то ряд сходиться. Якщо він не існує або нескінченний, то ряд розходиться. Є ще один необхідний, але не достатній ознака збіжності ряду. Це загальний член ряду a_n. Якщо він прагне до нуля: lim a_i = 0 при I? ?, То ряд сходиться. Це умова розглядають в сукупності з аналізом інших ознак, т.к. воно недостатнє, проте якщо загальний член не прагне до нуля, то ряд однозначно розходиться.
5
Прімер1.Определіте збіжність ряду 1/3 + 2/5 + 3/7 + ... + n/(2 * n + 1) + ... .Решеніе.Пріменіте необхідний ознака збіжності - чи прагне загальний член до нуля: lim a_i = lim n/(2 * n + 1) =? .Отже, a_i? 0, отже, ряд розходиться.
6
Прімер2.Определіте збіжність ряду 1 +? + 1/3 + ... + 1/n + ... .Решеніе.Стремітся Чи загальний член до нуля: lim 1/n = 0. Так, прагне, виконаний необхідний ознака збіжності, однак цього недостатньо. Тепер за допомогою границі послідовності сум спробуємо довести, що ряд розходиться: s_n =? _ (K = 1) ^ n 1/k = 1 +? + 1/3 + ... + 1/n. Послідовність сум, хоч і дуже повільно, але очевидно прагне до?, Отже, ряд розходиться.
7
Ознака збіжності Даламбера. Нехай існує кінцевий межа відношення наступного і попереднього членів ряду lim (a_ (n + 1)/a_n) = D. Тоді: D <1 - ряд сходиться; D> 1 - ряд розходиться; D = 1 - рішення невизначено, потрібно скористатися додатковою ознакою.
8
Радикальний ознака збіжності Коші.Пусть існує кінцевий межа виду lim? (N & a_n) = D. Тоді: D <1 - ряд сходиться; D> 1 - ряд розходиться; D = 1 - немає однозначної відповіді.
9
Ці дві ознаки можна використовувати в сукупності, проте ознака Коші сильніший. Існує також інтегральний ознака Коші, згідно з яким для визначення збіжності ряду необхідно знайти відповідний певний інтеграл. Якщо він сходиться, то сходиться і ряд, і навпаки.