Як знайти проекцію точки на пряму.

Для вирішення складних геометричних задач часто виявляється досить знання алгоритмів простих операцій. Так іноді виявляється досить просто знайти проекцію точки на пряму і зробити кілька додаткових побудов, щоб невирішувану на перший погляд завдання перетворилася на доступну.
Інструкція
1
Навчіться користувати координатної площиною. Основні труднощі можуть виникнути з негативними числами. Запам'ятайте, що все мається чотири квадранта: у першому розташовані позитивні значення, у другому - позитивні тільки по осі абсцис, в третьому - негативні по обох осях, а в четвертому негативні зберігаються тільки на осі абсцис. Ви можете довільно задавати напрямки координатних осей, але в математиці за традицією прийнято, щоб вісь ординат була направлена вгору (відповідно, внизу розташовані негативні числа), а вісь абсцис йшла зліва направо (так само як і зміна негативних чисел через нуль на позитивні).
2
Зафіксуйте дані задачі. Вам потрібно знати координати точки, а також рівняння прямої, проекцію точки на яку необхідно знайти. Намалюйте креслення. Починайте з зображення координатної площині, позначення центру координат, осей та їх спрямування, а також одиничних відрізків. Виконавши цю дію, нанесіть на отриману площину дану вам точку, виходячи зі знання про її координатах, і проведіть задану пряму. Якщо ви хочете бути математично грамотним, ваша пряма повинна займати всю координатну площину, не виходячи за її межі, але і не завершуватися до їх досягнення.
3
Опустіть перпендикуляр з даної точки на пряму. Знайти проекцію точки означає знайти координати точки перетину. Для цього проведіть через вихідну точку і точку перетину пряму. Ви отримаєте дві перпендикулярних прямих. Скористайтеся теоремою про те, що у двох перпендикулярних прямих відношення кутових коефіцієнтів є мінус одиниця.
4
Виходячи з цього, складіть систему рівнянь. Координати шуканої точки - (А, В), даної - (А1, В1), рівняння прямої - Сх + Е, рівняння проведеної прямої - (-С) х + К, де К поки невідомо. Перше рівняння: АС + Е = В. Воно вірно, так як шукана точка лежить на даній прямій. Друге рівняння: А1 (-С) + К = В1. І третє рівняння: А (-С) + К = В. Маючи три лінійних рівняння з трьома невідомими (- А, В, К), ви легко вирішите поставлену задачу.
Пара точок , одна з яких є проекцією другий на площину, дозволяє скласти рівняння прямої, якщо відомо рівняння площині. Після цього задачу знаходження координат точки проекції можна звести до визначення точки перетину побудованої прямої і площини в загальному вигляді. Після отримання системи рівнянь в неї залишиться підставити значення координат вихідної точки.
Інструкція
1
Розгляньте пряму, що проходить через точку A? (X?; Y?; Z?), координати якої відомі з умов завдання, і її проекцію на площину A? (X?; Y ?; Z?), координати якою потрібно визначити. Ця пряма повинна бути перпендикулярна площині, тому в якості направляючого вектора використовуйте нормальний до площині вектор. Площину задається рівнянням a * X + b * Y + c * Z - d = 0, значить, нормальний вектор можна позначити як? = {A; b; c}. Виходячи з цього вектора і координат точки, складіть канонічні рівняння розглянутої прямий: (XX?)/A = (YY?)/B = (ZZ?)/C.
2
Знайдіть точку перетину прямої з площиною, записавши отримані в попередньому кроці рівняння в параметричної формі: X = a * t + X ?, Y = b * t + Y? і Z = c * t + Z ?. Ці вирази підставте в відоме з умов рівняння площині, щоб знайти таке значення параметра t ?, при якому пряма перетинає площину: a * (a * t? + X?) + B * (b * t? + Y?) + C * (c * t? + Z?) - d = 0Преобразуйте його так, щоб у лівій частині рівності залишилася тільки змінна t?: a? * t? + A * X? + B? * T? + B * Y? + C? * T? + C * Z? - D = 0a? * T? + B? * T? + C? * T? = D - a * X? - B * Y? - C * Z? T? * (A? + B? + C?) = D - a * X? - B * Y? - C * Z? T? = (D - a * X? - B * Y? - C * Z?)/(A? + B? + C?)
3
Підставте отримане значення параметра для точки перетину в рівняння проекцій на кожну координатну вісь з другого кроку: X? = A * t? + X? = A * ((d - a * X? - B * Y? - C * Z?)/(A? + B? + C?)) + X? Y? = B * t? + Y? = B * ((d - a * X? - B * Y? - C * Z?)/(A? + B? + C?)) + Y? Z? = C * t? + Z? = C * ((d - a * X? - B * Y? - C * Z?)/(A? + B? + C?)) + Z? Розраховані за цим формулам величини і будуть значеннями абсциси, ординати і аппликати точки проекції. Наприклад, якщо вихідна точка A? задана координатами (1; 2; -1), а площину визначена формулою 3 * X-Y + 2 * Z-27 = 0, координати проекції цієї точки будуть рівні: X? = 3 * ((27 - 3 * 1 - (-1 * 2) - 2 * (- 1))/(3? + (-1?) + 2?)) + 1 = 3 * 28/14 + 1 = 7Y? = -1 * ((27 - 3 * 1 - (-1 * 2) - 2 * (- 1))/(3? + (-1?) + 2?)) + 2 = -1 * 28/14 + 2 = 0Z? = 2 * ((27 - 3 * 1 - (-1 * 2) - 2 * (- 1))/(3? + (-1?) + 2?)) + (-1) = 2 * 28/14 - 1 = 3Значіт, координати точки проекції A? (7; 0; 3).