Як визначити радіус кривизни.

Для вивчення руху деякого фізичного об'єкта (автомобіль, велосипедист, кулька в рулетці) достатньо вивчити рух деяких його точок. При дослідженні руху виявляється, що всі крапки описують деякі криві лінії.
Інструкція
1
Знайте, що кривими можна описати рух рідини, газу, світлових променів, ліній струму. Радіусом кривизни для плоскої кривої в певній точці є радіус дотичного кола в цій точці. У деяких випадках крива задається рівняннями, і радіус кривизни обчислюється за формулами. Відповідно, щоб дізнатися радіус кривизни, необхідно дізнатися радіус кола, що стосується певної точки.
2
Визначте на площині кривої точку А, поблизу неї візьміть ще одну точку В. Побудуйте дотичні до наявної кривої, які проходять через точки А і В.
3
Проведіть через точки А і В лінії, перпендикулярні побудованим дотичним, продовжите їх до перетину. Позначте точку перетину перпендикулярів, як О. Точка О є центром дотичного кола в даній точці. Значить ОА - радіус кола, тобто кривизни в даній конкретній точці А.
4
Зауважимо, що при русі точки по будь криволінійної траєкторії в будь-який момент руху вона рухається по якійсь кола, яка змінюється від точки до точки.
5
Якщо для точки в просторі визначити кривизни в двох взаємно перпендикулярних напрямках, то ці кривизни будуть називатися головними. Напрямок головних кривизн має бути обов'язково 900. Для обчислень часто використовують середню кривизну, рівну напівсумі головних кривизн, і гауссову кривизну, рівну їх добутку. Існує також поняття кривизни кривої. Це величина, зворотна радіусу кривизни.
6
Прискорення є важливим фактором руху точки. Кривизна траєкторії безпосередньо впливає на прискорення. Прискорення виникає в тому випадку, коли точка з постійною швидкістю починає рухатися по кривій. Змінюється не тільки абсолютна величина швидкості, але і її напрямок, виникає доцентрове прискорення. Тобто в реальності точка починає рухатися по колу, якої стосується в даний момент часу.
Нехай задана функція, визначена рівнянням y = f (x) і відповідним графіком. Потрібно знайти радіус її кривизни, тобто виміряти ступінь викривленості графіка цієї функції в деякій точці x0.
Інструкція
1
Кривизна будь-якої лінії визначається швидкістю повороту її дотичної в точці x при русі цієї точки по кривій. Оскільки тангенс кута нахилу дотичної дорівнює значенню похідної від f (x) в цій точці, то швидкість зміни цього кута повинна залежати від другої похідної.
2
Еталоном кривизни логічно прийняти окружність, оскільки вона рівномірно викривлена на всьому своєму протязі. Радіус такої окружності є міра її крівізни.По аналогії, радіусом кривизни заданої лінії в точці x0 називається радіус кола, яка найбільш точно вимірює ступінь її викривленості в цій точці.
3
Необхідна окружність повинна стикатися із заданою кривою у точці x0, тобто розташовуватися з боку її увігнутості так, щоб дотична до кривої в цій точці була також і дотичної до кола. Це означає, що якщо F (x) - рівняння кола, то повинні виконуватися рівності: F (x0) = f (x0), F? (X0) = f? (X0) .Таких кіл, очевидно, існує нескінченно багато. Але для вимірювання кривизни необхідно вибрати ту, яка найбільш точно відповідає заданій кривій в цій точці. Оскільки кривизна вимірюється другої похідної, то до цих двох равенствам необхідно додати ще й третій: F (x0) = f (x0).
4
Виходячи з цих співвідношень, радіус кривизни обчислюється за формулою: R = ((1 + f? (X0) ^ 2) ^ (3/2))/(| f (x0) |) .Велічіна , зворотна радіусу кривизни, називається кривизною лінії в даній точці.
5
Якщо f (x0) = 0, то радіус кривизни дорівнює нескінченності, тобто лінія в цій точці не викривлений. Це завжди вірно для прямих, а також для будь-яких ліній в точках перегину. Кривизна в таких точках, відповідно, дорівнює нулю.
6
Центр кола, що вимірює кривизну лінії в заданій точці, називається центром кривизни. Лінія, що є геометричним місцем для всіх центрів кривизни заданої лінії, називається її еволюти.