Як обчислити число пі.

Грецької буквою? (Пі, pi) прийнято позначати відношення довжини кола до її діаметра. Це число , спочатку з'явившись у працях стародавніх геометрів, згодом виявилося дуже важливим в дуже багатьох галузях математики. А значить, його потрібно вміти обчислювати.
Інструкція
1
? - Ірраціональне число . Це означає, що його неможливо уявити у вигляді дробу з цілим чисельником і знаменником. Більш того,? - Трансцендентне число , тобто воно не може бути вирішенням ніякого алгебраїчного рівняння. Таким чином, точне значення числа? записати неможливо. Однак є методи, що дозволяють обчислити його з будь вимагається ступенем точності.
2
Найдавніші наближення, якими користувалися геометри Греції та Єгипту, кажуть, що? приблизно дорівнює квадратному кореню з 10 або дробу 256/81. Але ці формули дають значення?, Рівне 3,16, а цього явно недостатньо.
3
Архімед та інші математики обчислювали? за допомогою складної і трудомісткої геометричній процедури - вимірювання периметрів вписаних і описаних багатокутників. Одержане ними значення дорівнювало 3,1419.
4
Ще одна наближена формула визначає, що? =? 2 +? 3. Вона дає значення для?, Приблизно рівне 3,146.
5
З розвитком диференціального обчислення та інших нових математичних дисциплін у розпорядженні вчених з'явився новий інструмент - статечні ряди. Готфрід Вільгельм Лейбніц в 1674 році виявив, що нескінченний Ряд1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 ... + (1/(2n + 1) * (- 1) ^ nв межі сходиться до суми , рівної?/4. Обчислювати цю суму просто, однак, щоб досягти достатньої точності, знадобиться багато кроків, оскільки ряд сходиться дуже повільно.
6
Згодом були виявлені й інші статечні ряди, що дозволяють обчислювати? швидше, ніж за допомогою ряду Лейбніца. Наприклад, відомо, що tg (?/6) = 1/? 3, отже, arctg (1/? 3) =?/6.Функція Арктангенса розкладається в степеневий ряд, і для заданого значення ми в результаті отримуємо :? = 2? 3 * (1 - (1/3) * (1/3) + (1/5) * (1/3) ^ 2 - (1/7) * (1/3) ^ 3 ... + 1/((2n + 1) * (- 3) ^ n) ...) За допомогою цієї та інших аналогічних формул число ? було обчислено вже з точністю до мільйонів знаків після коми.
7
Для більшості практичних розрахунків цілком достатньо знати число ? з точністю до семи знаків після коми: 3,1415926. Його можна легко запам'ятати за допомогою мнемонічною фрази: «Три - чотирнадцять - п'ятнадцять - дев'яносто два і шість».
Зверніть увагу
Існує багато способів обчислення числа Пі. Самим простим і зрозумілим є чисельний метод Монте-Карло, суть якого зводиться до найпростішого перебору точок на площі. double y = radius * radius-x * x; return y; } Програма виводить значення числа Пі залежно від радіуса і кількості точок. Єдине, що залишається читачеві, це скомпілювати її самостійно і запустити з параметрами, які бажає він.
Корисна порада
Але невтомні вчені продовжували і продовжували обчислювати десяткові знаки числа пі, що є насправді дико нетривіальною завданням, тому що просто так в стовпчик його не вирахує: число це не тільки ірраціональне, але й трансцендентне (це ось як раз такі числа, що не обчислюються шляхом простих рівнянь). Вчені Токійського університету зуміли поставити світовий рекорд в обчисленнях числа Пі до 12411-трильйонного знака.
Кількість Пі, мабуть, найвідоміша з математичних констант. На відміну від числа e (підстава натурального логарифма), константи Піфагора або навіть «золотого перетину», більшість з нас може не замислюючись назвати її приблизне значення - 3,14. Однак цього буває достатньо тільки для дуже приблизних обчислень і іноді виникає необхідність в обчисленні більш точного значення числа Пі.
Інструкція
1
Якщо ви хочете використовувати найбільш очевидний шлях розрахунку цієї константи, то виходьте з її визначення - число Пі показує постійне співвідношення між довжиною кола та її діаметром. Конкретні величини цих двох змінних значення не мають, якою б коло ви не розглядали, співвідношення завжди буде однаковим - тому, власне, це число і називається «константою». Знаючи ці дві величини для будь-якого кола, поділіть периметр на діаметр і ви отримаєте значення числа Пі. Однак при цьому треба враховувати, що ця константа є числом ірраціональним, тобто не мають точного значення. Тому вам неминуче доведеться округлити отриману величину, виходячи з допустимої ступеня точності.
2
Якщо у вас немає виміряних параметрів кола, то скористайтеся «раціональними наближеннями», тобто числами у форматі звичайного дробу, які визначають приблизне значення цієї константи. Найбільш древнє з таких наближень приписується Архімеда і виражається дробом 22/7. Ви можете використовувати замінник числа Пі в такому вигляді, або перевести його в десяткову дріб - значення матиме кінцеве число цифр після коми. Більшу точність (число цифр після десяткової коми) дають співвідношення 377/120 і 355/113.
3
Якщо вам важливий лише результат обчислення, а його хід значення не має, то найпростіше не ділити числа самостійно, а скористатися вже розрахованими значеннями, відібравши потрібне число цифр після коми. На сьогодні ця константа розрахована з точністю до десяти трильйонів розрядів після десяткового роздільника. Якщо вам достатня точність у мільйон знаків, то скористайтеся, наприклад, сервісом, розміщеним на цій сторінці - http://eveandersson.com/pi/digits. Там ви можете вказати потрібну кількість знаків і задати розмір груп, на які їх слід розбивати, а потім натиснути кнопку Show і скопіювати для подальшого використання відображений скриптом результат.