Як знайти похилу асимптоту. асимптота наити.

Асимптота функції - лінія, до якої необмежено наближається графік цієї функції. У широкому сенсі асимптотическая лінія може бути і криволінійної, однак найчастіше цим словом позначають прямі лінії.
Інструкція
1
Якщо задана функція має асимптоти, то вони можуть бути вертикальними або похилими. Існують також горизонтальні асимптоти, які є окремим випадком похилих.
2
Припустимо, що вам дана функція f (x). Якщо вона не визначена в деякій точці x0 і в міру наближення x до x0 зліва чи справа f (x) прямує до нескінченності, то в цій точці функція має вертикальну асимптоту. Наприклад, в точці x = 0 позбавляються сенсу функції 1/x і ln (x). Якщо x? 0, то 1/x? ?, А ln (x)? - ?. Отже, обидві функції в цій точці мають вертикальну асимптоту.
3
Похила асимптота - пряма, до якої необмежено прагне графік функції f (x) у міру того, як x необмежено зростає або спадає. Функція може мати і вертикальні, і похилі асімптоти.В практичних цілях розрізняють похилі асимптоти при x? ? і при x? - ?. У ряді випадків функція може прагнути до однієї і тієї ж асимптоти в обидві сторони, але, взагалі кажучи, вони не зобов'язані збігатися.
4
Асимптота, як і всяка похила пряма, має рівняння виду y = kx + b, де k і b - константи.Прямая буде похилій асимптотой функції при x? ?, Якщо в міру прагнення x до нескінченності різницю f (x) - (kx + b) прагне до нуля. Аналогічно, якщо ця різниця прямує до нуля при x? - ?, То пряма kx + b буде похилій асимптотой функції в цьому напрямку.
5
Щоб зрозуміти, чи має задана функція похилу асимптоту, і якщо має - знайти її рівняння, потрібно обчислити константи k і b. Метод обчислення не змінюється від того, в якому напрямку ви шукаєте асімптоту.Константа k, також звана кутовим коефіцієнтом похилій асимптоти, є межею відносини f (x)/x при x? ? .Наприклад, Шлях задана функція f (x) = 1/x + x. Відношення f (x)/x буде в цьому випадку дорівнює 1 + 1/(x ^ 2). Його межа при x? ? дорівнює 1. Отже, задана функція має похилу асимптоту з кутовим коефіцієнтом 1.Якщо коефіцієнт k виходить нульовим, це означає, що похила асимптота заданої функції горизонтальна, і її рівняння y = b.
6
Щоб знайти константу b, тобто зміщення потрібної нам прямий, знадобиться обчислити межа різниці f (x) - kx. У нашому випадку ця різниця дорівнює (1/x + x) - x = 1/x. При x? ? межа 1/x дорівнює нулю. Таким чином, b = 0.
7
Остаточний висновок полягає в тому, що функція 1/x + x має похилу асимптоту в напрямку плюс нескінченності, рівняння якої y = x. Тим же способом легко довести, що ця ж пряма є похилою асимптотою заданої функції і в напрямку мінус нескінченності.
асимптотой графіка функції у = f (x) називається пряма, графік якої необмежено прибл-жается до графіка функції при необмеженій видаленні довільної точки M (x, y), що належить f (x) на нескінченність (позитивну чи негативну) , ніколи не перетинаючи графік функції. Видалення точки на нескінченність увазі під собою і випадок, коли до нескінченності прагне тільки ордината або абсциса у = f (x). Розрізняють вертикальні, горизонтальні та похилі асимптоти.
Вам знадобиться
  • - папір;
  • - ручка;
  • - лінійка.
Інструкція
1
На практиці вертикальні асимптоти відшукуються зовсім просто. Це точки нулів знаменника функції f (x) .Вертікальная асимптота - це вертикальна пряма. Її рівняння x = a. Тобто при х прагне до a (праворуч або ліворуч), функція прагне до нескінченності (позитивної або негативної).
2
Горизонтальна асимптота - це горизонтальна пряма y = A, до якої графік функції необмежено наближається при прагненні х до нескінченності (позитивної чи негативно) (див. Рис.1), т.е.
3
Похилі асимптоти знаходять трохи більш складно. Визначення їх залишається колишнім, але задаються вони рівнянням прямої лінії y = kx + b. Відстань від асимптоти до графіка функції тут, відповідно до малюнком 1 становить | MP |. Очевидно, що якщо | MP | прагне до нуля, то до нуля прагне і довжина відрізка | MN |. Точка М - ордината асимптоти, N - функції f (x). Абсциса у них спільна. Відстань | MN | = f (xM) - (kxM + b) або просто f (x) - (kx + b), де k - тангенс кута нахилу пряної (асимптоти) до осі абсцис. f (x) - (kx + b) прагне до нуля, тому k можна знайти як межа відносини (f (x) - b)/х, при х прагне до нескінченності (див. рис.2).
4
Після знаходження k, слід визначити b, обчисливши межа різниці f (x) - KХ, при х прагне до нескінченності (див. Рис.3) .Далі вам необхідно побудувати графік асимптоти, також як і прямий y = kx + b.
5
Приклад. Знайти асимптоти графіка функції y = (x ^ 2 + 2x-1)/(x-1) .1. Очевидна вертикальна асимптота x = 1 (як нуль знаменника) .2. y/x = (x ^ 2 + 2x-1)/(x-1) x = (x ^ 2 + 2x-1)/(x ^ 2-x). Тому, обчисливши межа на нескінченності від останньої раціональної дробу, получіттся k = 1. f (x) -kx = (x ^ 2 + 2x-1)/(x-1) - x = (x ^ 2 + 2x-1-x ^ 2 + x)/(x-1) = 3x/( x-1) - 1/(x-1) .Таким чином, ви отримаєте b = 3. . вихідне рівняння похилій асимптоти буде мати вигляд: y = x + 3 (див. рис.4).