Як знайти знаменник геометричній прогресії.

Згідно з визначенням, геометрична прогресія - це послідовність нерівних нулю чисел, кожне наступне з яких одно попередньому, помноженому на деяке постійне число (знаменник прогресії). При цьому в геометричній прогресії не повинно бути жодного нуля, інакше вся послідовність «обнуляться», що суперечить визначенню. Щоб знайти знаменник достатньо знати значення двох її сусідніх членів. Однак, не завжди умови задачі бувають настільки простими.
Вам знадобиться
  • калькулятор
Інструкція
1
Розділіть будь-який член прогресії на попередній. Якщо значення попереднього члена прогресії невідомо чи не визначено (наприклад, для першого члена прогресії), то розділіть на будь-який член послідовності значення подальшого члена прогрессіі.Так як жоден член геометричної прогресії не дорівнює нулю, то при виконанні цієї операції не повинно виникнути проблем.
2
Прімер.Пусть є послідовність чисел: 10, 30, 90, 270 ... Потрібно знайти знаменник геометричної прогрессіі.Решеніе: 1 варіант. Візьмемо довільний член прогресії (наприклад, 90) і розділимо його на попередній (30): 90/30 = 3.2 варіант. Візьмемо будь-який член геометричної прогресії (наприклад, 10) і розділимо на нього подальший (30): 30/10 = 3.Ответ: знаменник геометричній прогресії 10, 30, 90, 270 ... дорівнює 3.
3
Якщо значення членів геометричної прогресії задано не явно, а у формі співвідношень, то складіть і вирішите систему уравненій.Прімер.Сумма першого і четвертого члена геометричної прогресії дорівнює 400 (b1 + b4 = 400), а сума другого і п'ятого члена дорівнює 100 (b2 + b5 = 100) .Требуется знайти знаменник прогрессіі.Решеніе: Запишіть умову задачі у вигляді системи рівнянь: b1 + b4 = 400b2 + b5 = 100Із визначення геометричній прогресії випливає, що: b2 = b1 * qb4 = b1 * q ^ 3b5 = b1 * q ^ 4, де q - загальноприйняте позначення знаменника геометричній прогрессіі.Подставів в систему рівнянь значення членів прогресії, отримаєте: b1 + b1 * q ^ 3 = 400b1 * q + b1 * q ^ 4 = 100После розкладання на множники виходить : b1 * (1 + q ^ 3) = 400b1 * q (1 + q ^ 3) = 100Теперь розділіть відповідні частини другого рівняння на перше: [b1 * q (1 + q ^ 3)]/[b1 * (1+ q ^ 3)] = 100/400, звідки: q = 1/4.
4
Якщо відома сума кількох членів геометричній прогресії або сума всіх членів спадної геометричної прогресії, то для знаходження знаменника прогресії скористайтеся відповідними формулами: Sn = b1 * (1-q ^ n)/(1-q), де Sn - сума n перших членів геометричної прогресії і S = b1/(1-q), де S - сума нескінченно спадної геометричної прогресії (сума всіх членів прогресії зі знаменником меншим одиниці) .Прімер.Первий член спадної геометричної прогресії дорівнює одиниці, а сума всіх її членів дорівнює двум.Требуется визначити знаменник цієї прогрессіі.Решеніе: Підставте дані з завдання в формулу. Вийде: 2 = 1/(1-q), звідки - q = 1/2.
Прогресія являє собою послідовність чисел. У геометричній прогресії кожен наступний член виходить множенням попереднього на деяке число q, зване знаменником прогресії.
Інструкція
1
Якщо відомо два сусідніх члена геометричної прогресії b (n + 1) і b (n), щоб отримати знаменник, треба число з великим індексом розділити на попереднє йому: q = b (n + 1)/b (n ). Це випливає з визначення прогресії і її знаменника. Важливою умовою є нерівність нулю першого члена і знаменника прогресії, інакше прогресія вважається невизначеною.
2
Так, між членами прогресії встановлюються наступні співвідношення: b2 = b1 • q, b3 = b2 • q, ..., b (n) = b (n-1) • q. За формулою b (n) = b1 • q ^ (n-1) може бути обчислений будь-який член геометричної прогресії, в якій відомий знаменник q і перший член b1. Також кожен з членів геометричній прогресії по модулю дорівнює середньому геометричному своїх сусідніх членів: | b (n) | =? [B (n-1) • b (n + 1)], звідси прогресія і отримала свою назву.
3
Аналогом геометричній прогресії є найпростіша показова функція y = a ^ x, де аргумент x стоїть в показнику ступеня, a - деяке число. У цьому випадку знаменник прогресії збігається з першим членом і дорівнює числу a. Під значенням функції y можна розуміти n-й член прогресії, якщо аргумент x прийняти за натуральне число n (лічильник).
4
Існує формула для суми перших n членів геометричної прогресії: S (n) = b1 • (1-q ^ n)/(1-q). Дана формула справедлива при q? 1. Якщо q = 1, то сума перших n членів обчислюється формулою S (n) = n • b1. До речі, прогресія буде називатися зростаючої при q більшому одиниці і позитивному b1. При знаменнику прогресії, по модулю не перевищує одиниці, прогресія буде називатися спадною.
5
Окремий випадок геометричній прогресії - нескінченно спадна геометрична прогресія (б.у.г.п.). Справа в тому, що члени спадної геометричної прогресії будуть раз за разом зменшуватися, але ніколи не досягнуть нуля. Незважаючи на це, можна знайти суму всіх членів такої прогресії. Вона визначається формулою S = b1/(1-q). Загальна кількість членів n нескінченно.
6
Щоб наочно уявити, як можна скласти нескінченну кількість чисел і не отримати при цьому нескінченність, спечіть торт. Відріжте половину цього торта. Потім відріжте 1/2 від половини, і так далі. Шматочки, які у вас будуть виходити, являють собою не що інше, як члени нескінченно спадної геометричної прогресії зі знаменником 1/2. Якщо скласти всі ці шматочки, ви отримаєте вихідний торт.