Як знайти область збіжності ряду. Як розкласти функцію в ряд.

Дослідження функцій дуже часто можна полегшити, розклавши їх в числовий ряд. Вивчаючи числові ряди, особливо, якщо ці ряди статечні, важливо вміти визначати і аналізувати їх збіжність.
Інструкція
1
Нехай заданий числовий ряд U0 + U1 + U2 + U3 + ... + Un + ... =? Un. Un - вираз для загального члена цього ряду .Сумміруя члени ряду від початку до деякого кінцевого n, ви отримуєте проміжні суми ряду .Якщо по мірі зростання n ці суми прагнуть до якоїсь кінцевої величиною, то ряд називають збіжним. Якщо ж вони зростають або убувають нескінченно, то ряд розходиться.
2
Щоб визначити, чи сходиться заданий ряд, насамперед перевірте, чи прагне його загальний член Un до нуля при нескінченному зростанні n. Якщо ця межа не дорівнює нулю, то ряд розходиться. Якщо ж дорівнює, то ряд, можливо, сходящійся.Напрімер, ряд ступенів двійки: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 2 ^ n + ... - розбіжний, оскільки його загальний член в межі прагне бесконечности.Гармонический ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n + ... розходиться, хоча його загальний член і прагне в межі до нуля. З іншого боку, ряд 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/(2 ^ n) + ... сходиться, і межа його суми дорівнює 2.
3
Припустимо, що нам дано два ряду , загальні члени яких рівні відповідно Un і Vn. Якщо є таке кінцеве N, що починаючи з нього, Un? Vn, то ці ряди можна порівнювати між собою. Якщо нам відомо, що ряд U сходиться, то ряд V теж абсолютно точно сходиться. Якщо ж відомо, що ряд V розходиться, то і ряд U - розбіжний.
4
Якщо всі члени ряду позитивні, то його збіжність можна оцінити за ознакою Даламбера. Знайдіть коефіцієнт p = lim (U (n + 1)/Un) при n? ?. Якщо p <1, то ряд сходиться. При p> 1 ряд однозначно розходиться, але якщо p = 1, то потрібне додаткове дослідження.
5
Якщо знаки членів ряду чергуються, тобто ряд має вигляд U0 - U1 + U2 - ... + ((-1) ^ n) Un + ..., то такий ряд називається знакозмінним або Знакозмінні . Збіжність цього ряду визначається ознакою Лейбніца. Якщо загальний член Un при зростанні n прагне до нуля, і для кожного n Un> U (n + 1), то ряд сходиться.
6
При аналізі функцій найчастіше доводиться мати справу зі статечними ряду ми. Статечної ряд - це функція, задана виразом: f (x) = a0 + a1 * x + a2 * x ^ 2 + a3 * x ^ 3 + ... + an * x ^ n + ... Збіжність такого ряду , природно залежить від значення x. Тому для статечного ряду існує поняття діапазону всіх можливих значень x, при яких ряд сходиться. Цей діапазон дорівнює (-R; R), де R - радіус збіжності. Усередині нього ряд сходиться завжди, за його межами завжди розходиться, на самому кордоні може як сходитися, так і расходіться.R = lim | an/a (n + 1) | при n? ? .Таким Чином, для аналізу збіжності статечного ряду достатньо знайти R і перевірити збіжність ряду на кордоні діапазону, тобто при x = ± R.
7
Наприклад, нехай вам дано ряд, що представляє собою розкладання в ряд Маклорена функції e ^ x: e ^ x = 1 + x + (x ^ 2)/2! + (X ^ 3)/3! + ... + (X ^ n)/n! + ... Ставлення an/a (n + 1) дорівнює (1/n!)/(1/(n + 1)!) = (N + 1)!/N! = N + 1. Межа цього відношення при n? ? дорівнює?. Отже, R =?, І ряд сходиться на всій дійсній осі.