Як знайти фокус на параболі.

В алгебрі парабола - насамперед графік квадратного тричлена. Однак існує й геометричне визначення параболи, як сукупності всіх точок, відстань яких від деякої даної точки ( фокуса параболи) дорівнює відстані до даної прямої (директриси параболи). Якщо парабола задана рівнянням, то потрібно вміти обчислити координати її фокуса .
Інструкція
1
Йдучи від зворотного, припустимо, що парабола задана геометрично, тобто відомі її фокус і директриса. Для простоти розрахунків встановимо систему координат так, щоб директриса була паралельна осі ординат, фокус лежав на осі абсцис, а сама вісь ординат проходила точно посередині між фокусом і директрисою. Тоді вершина параболи буде збігатися з початком коордінат.Інимі словами, якщо відстань між фокусом і директрисою позначити p, то координати фокуса дорівнюватимуть (p/2, 0), а рівняння директриси - x = -p/2.
2
Відстань від будь-якої точки (x, y) до точки фокуса дорівнюватиме, за формулою відстані між точками,? (X - p/2) ^ 2 + y ^ 2). Відстань від цієї ж точки до директриси, відповідно, буде дорівнювати x + p/2.
3
Прирівнюючи один одному ці два відстані, ви отримаєте рівняння:? (X - p/2) ^ 2 + y ^ 2) = x + p/2.Возводя обидві частини рівняння в квадрат і розкриваючи дужки, ви отримаєте : x ^ 2 - px + (p ^ 2)/4 + y ^ 2 = x ^ 2 + px + (p ^ 2)/4.Упростів вираз, ви прийдете до остаточної формулюванні рівняння параболи: y ^ 2 = 2px.
4
З цього видно, що й рівняння параболи можна привести до виду y ^ 2 = kx, то координати її фокуса дорівнюватимуть (k/4, 0). Помінявши змінні місцями, ви прийдете до рівнянню алгебри параболи y = (1/k) * x ^ 2. Координати фокуса цієї параболи рівні (0, k/4).
5
Парабола, службовка графіком квадратного тричлена, зазвичай задається рівнянням y = Ax ^ 2 + Bx + C, де A, B, і C - константи. Вісь такий параболи паралельна осі ордінат.Проізводная квадратичної функції, заданої тричленної Ax ^ 2 + Bx + C, дорівнює 2Ax + B. Вона звертається в нуль при x = -B/2A. Таким чином, координати вершини параболи дорівнюють (-B/2A, - B ^ 2/(4A) + C).
6
Така парабола повністю еквівалентна параболі, заданої рівнянням y = Ax ^ 2, зрушеною шляхом паралельного переносу на -B/2A по осі абсцис і на -B ^ 2/(4A) + C по осі ординат. Це легко перевірити заміною координат. Отже, якщо вершина параболи, заданої квадратичної функцією, знаходиться в точці (x, y), то фокус цієї параболи знаходиться в точці (x, y + 1/(4A).
7
Підставляючи в цю формулу обчислені на попередньому кроці значення координат вершини параболи і спрощуючи вирази, ви остаточно отримаєте: x = - B/2A, y = - (B ^ 2 - 1)/4A + C.