Як знайти точку перетину кіл. знайти точку перетину трьох кіл.

Геометричні завдання, які вирішуються аналітично за допомогою прийомів алгебри, є невід'ємною частиною програми шкільного навчання. Крім логічного і просторового мислення вони розвивають розуміння ключових взаємозв'язків між сутностями навколишнього світу і абстракціями, застосовуваними людьми для формалізації відносин між ними. Знаходження точок перетину найпростіших геометричних фігур - один з типів подібних завдань.
Інструкція
1
Припустимо, що дано дві окружності, задані своїми радіусами R і r, а також координатами їх центрів - відповідно (x1, y1) і (x2, y2). Потрібно обчислити, чи перетинаються ці кола, і якщо так, то знайти координати точок перетину .Для простоти можна припустити, що центр однієї із заданих кіл збігається з початком координат. Тоді (x1, y1) = (0, 0), а (x2, y2) = (a, b). Також має сенс припускати, що a? 0 і b? 0.
2
Таким чином, координати точки (або точок) перетину кіл, якщо вони є, повинні задовольняти системі з двох рівнянь: x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2 , (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2.
3
Після розкриття дужок рівняння набувають вигляду: x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2, x ^ 2 + y ^ 2 - 2ax - 2by + a ^ 2 + b ^ 2 = r ^ 2.
4
Тепер перше рівняння можна відняти з другого. Таким чином, квадрати змінних зникають, і виникає лінійне рівняння: -2ax - 2by = r ^ 2 - R ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2. З його допомогою можна виразити y через x: y = (r ^ 2 - R ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2 - 2ax)/2b.
5
Якщо підставити знайдене вираз для y в рівняння кола, завдання зводиться до вирішення квадратного рівняння: x ^ 2 + px + q = 0, гдеp = -2a/2b, q = (r ^ 2 - R ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2)/2b - R ^ 2.
6
Коріння цього рівняння дозволять знайти координати точок перетину кіл. Якщо рівняння нерозв'язне в дійсних числах, то окружності не перетинаються. Якщо коріння збігаються між собою, то окружності стосуються один одного. Якщо коріння різні, то кола перетинаються.
7
Якщо a = 0 або b = 0, то вихідні рівняння спрощуються. Наприклад, при b = 0 система рівнянь прийме вигляд: x ^ 2 + y2 = R ^ 2, (x - a) ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2.
8
Після вирахування першого рівняння з другого виходить: - 2ax + a ^ 2 = r ^ 2 - R ^ 2.Его рішення: x = - (r ^ 2 - R ^ 2 - a2)/2a. Очевидно, що у випадку b = 0 центри обох кіл лежать на осі абсцис, і у точок їх перетину буде однакова абсциса.
9
Це вираз для x можна підставити в перше рівняння кола та отримати квадратне рівняння щодо y. Його коріння - ординати точок перетину , якщо такі існують. Аналогічним чином знаходиться вираз для y, якщо a = 0.
10
Якщо a = 0 і b = 0, але при цьому R? r, то одна з кіл свідомо знаходиться всередині іншої, і точки перетину відсутні. Якщо ж R = r, то кола співпадають, і точок їх перетину нескінченно багато.
11
Якщо ні в одній з двох кіл центр не збігається з початком координат, то їх рівняння матимуть вигляд: (x - x1) ^ 2 + (y - y1) ^ 2 = R ^ 2, (x - x2) ^ 2 + (y - y2) ^ 2 = r ^ 2.Якщо перейти до нових координатах, получающимся зі старих методом паралельного перенесення: x? = X + x1, y? = Y + y1, то ці рівняння набувають вигляду: x? ^ 2 + y? ^ 2 = R ^ 2, (x? - (X1 + x2)) ^ 2 + (y? - (Y1 + y2)) ^ 2 = r ^ 2.Задача, таким чином, зводиться до попередньої. Знайшовши рішення для x? і y ?, можна легко повернутися до початкових координатах, звернувши рівняння для паралельного перенесення.