Як обчислити кут між векторами.

Для вирішення багатьох завдань, як прикладних, так і теоретичних, у фізиці і лінійної алгебри необхідно обчислювати кут між векторами. Ця проста на перший погляд завдання здатна доставити безліч труднощів, якщо ви чітко не засвоїте сутність скалярного твори і яка величина з'являється в результаті цього твору.
Інструкція
1
Кут між векторами у векторному лінійному просторі - мінімальний кут при повороті, на який досягається сонаправленнимі векторів. Здійснюється поворот одного з векторів навколо його початкової точки. З визначення стає очевидно, що значення кута не може перевищувати 180 градусів (cм. Малюнок до кроку).
2
При цьому абсолютно справедливо передбачається, що в лінійному просторі при здійсненні паралельного перенесення векторів кут між ними не змінюється. Тому для аналітичного розрахунку кута просторова орієнтація векторів не має значення.
3
При знаходженні кута використовуйте визначення скалярного твори для векторів. Дана операція позначається наступним чином (див. Малюнок до кроку).
4
Результат скалярного твори - число, інакше скаляр. Запам'ятайте (це важливо знати), щоб не допустити в подальших розрахунках помилок. Формула скалярного твори, розташованих на площині або в просторі векторів, має вигляд (див. Малюнок до кроку).
5
Це вираз справедливо тільки для ненульових векторів. Звідси висловіть кут між векторами (див. Малюнок до кроку).
6
Якщо система координат, в якій розташовуються вектори, є декартовій, то вираз для визначення кута можна переписати в наступному вигляді (див. Малюнок до кроку).
7
Якщо вектора розташовуються в просторі, то розрахунок проводите аналогічним способом. Єдиною відмінністю буде поява третього доданка в подільному - це доданок відповідає за аплікат, тобто третього компоненту вектора. Відповідно, при обчисленні модуля векторів компоненту z також необхідно врахувати, тоді для векторів, розташованих в просторі, останній вираз перетворюється таким чином (див. Малюнок 6 до кроку).