Як знайти рівняння бісектриси.

Нехай дано дві пересічні прямі, задані своїми рівняннями. Потрібно знайти рівняння прямої, яка, проходячи через точку перетину цих двох прямих, ділила б точно навпіл кут між ними, тобто була б биссектрисой.
Інструкція
1
Припустимо, що прямі задані своїми канонічними рівняннями. Тоді A1x + B1y + C1 = 0 і A2x + B2y + C2 = 0. При цьому A1/B1? A2/B2, інакше прямі паралельні і завдання не має сенсу.
2
Оскільки очевидно, що дві пересічні прямі утворюють між собою чотири попарно рівних кута, то повинні існувати рівно дві прямі, що задовольняють умові завдання.
3
Ці прямі будуть перпендикулярні один одному. Доказ цього твердження досить просто. Сума чотирьох кутів, утворених пересічними прямими, буде завжди дорівнює 360 °. Оскільки кути попарно рівні, то цю суму можна представити у вигляді: 2a + 2b = 360 ° або, що очевидно, a + b = 180 ° .Оскільки перша з шуканих биссектрис ділить навпіл кут a, а друга - кут b, то кут між самими биссектрисами завжди дорівнює a/2 + b/2 = (a + b)/2 = 90 °.
4
Бісектриса, за визначенням, ділить кут між прямими навпіл, а значить, для будь-якої точки, що лежить на ній, відстані до обох прямих будуть однаковими.
5
Якщо пряма задана канонічним рівнянням, то відстань від неї до деякої точки (x0, y0), що не лежить на цій прямій: d = | (Ax0 + By0 + C)/(? (A ^ 2 + B ^ 2)) | .Отже, для будь-якої точки, що лежить на шуканої бісектрисі: | (A1 * x + B1 * y + C1)/? (A1 ^ 2 + B1 ^ 2) | = | (A2 * x + B2 * y + C2)/? (A2 ^ 2 + B2 ^ 2) |.
6
Через те, що в обох частинах рівності стоять знаки модуля, воно описує відразу обидві шукані прямі. Щоб перетворити його в рівняння тільки однією з биссектрис, потрібно розкрити модуль або зі знаком +, або зі знаком -.Такім чином, рівняння першої бісектриси: (A1 * x + B1 * y + C1)/? (A1 ^ 2 + B1 ^ 2) = (A2 * x + B2 * y + C2)/? (A2 ^ 2 + B2 ^ 2) .Уравненіе другий бісектриси: (A1 * x + B1 * y + C1)/? (A1 ^ 2 + B1 ^ 2) = - (A2 * x + B2 * y + C2)/? (A2 ^ 2 + B2 ^ 2).
7
Наприклад, нехай задані прямі, визначені канонічними рівняннями: 2x + y -1 = 0, x + 4y = 0.Уравненіе їх першої бісектриси виходить з рівності: (2x + y -1)/? (2 ^ 2 + 1 ^ 2) = (x + 4y + 0)/? (1 ^ 2 + 4 ^ 2), тобто (2x + y - 1)/? 5 = (x + 4y)/? 15.Раскривая дужки і переводячи рівняння в канонічний вигляд: (2 *? 3 - 1) * x + (? 3 - 4) * y -? 3 = 0.