Як знайти площу трикутника по векторах.

Трикутник - це найпростіша з багатокутних плоских фігур, яку можна задати за допомогою координат точок у вершинах її кутів. Площа ділянки площині, який буде обмежений сторонами цієї фігури, в декартовій системі координат можна обчислити декількома способами.
Інструкція
1
Якщо координати вершин трикутника дано у двомірному декартовом просторі, то спочатку складіть матрицю з різниць значень координат точок, що лежать в вершинах. Потім використовуйте визначник другого порядку для отриманої матриці - він буде дорівнює векторному добутку двох векторів, що складають сторони трикутника. Якщо позначити координати вершин як A (X ?, Y?), B (X ?, Y?) І C (X ?, Y?), То формулу площі трикутника можна записати так: S = | (X? -X?) • (Y? -Y?) - (X? -X?) • (Y? -Y?) |/2.
2
Наприклад, нехай дано такі координати вершин трикутника на двомірної площини: A (-2, 2), B (3, 3) і C (5, -2). Тоді, підставивши числові значення змінних в наведену на попередньому кроці формулу, ви отримаєте: S = | (-2-5) • (3 - (- 2)) - (3-5) • (2 - (- 2)) |/2 = | -7 • 5 - (- 2) • 4 |/2 = | -35 + 8 |/2 = 27/2 = 13,5 сантиметрів.
3
Можна діяти по-іншому - спочатку обчислити довжини всіх сторін, а потім використовувати формулу Герона, яка визначає площу трикутника саме через довжини його сторін. У цьому випадку спочатку знайдіть довжини сторін, використовуючи теорему Піфагора для прямокутного трикутника, складеного з самої сторони (гіпотенуза) і проекцій кожної сторони на осі координат (катети). Якщо позначити координати вершин як A (X ?, Y?), B (X ?, Y?) І C (X ?, Y?), То довжини сторін будуть наступними: AB =? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)?), BC =? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)?), CA =? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)?). Наприклад, для координат вершин трикутника, наведених на другому кроці, ці довжини складуть AB =? ((- 2-3)? + (2-3)?) =? ((- 5)? + (- 1)?) = ? (25 + 1)? 5,1, BC =? ((3-5)? + (3 - (- 2))?) =? ((- 2)?) + 5?) =? (4+ 25)? 5,36, CA =? ((5 - (- 2))? + (- 2-2)?) =? (7? + (- 4)?) =? (49 + 16)? 8 , 06.
4
Знайдіть напівпериметр, склавши відомі тепер довжини сторін і розділивши результат на двійку: p = 0,5 • (? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)?) +? (( X? -X?)? + (Y? -Y?)?) +? ((X? -X?)? + (Y? -Y?)?)). Наприклад, для довжин сторін, розрахованих на попередньому кроці, напівпериметр буде приблизно дорівнює p? (5,1 + 5,36 + 8,06)/2? 9,26.
5
Розрахуйте площа трикутника за формулою Герона S =? (P (p-AB) (p-BC) (p-CA)). Наприклад, для зразка з попередніх кроків: S =? (9,26 • (9,26-5,1) • (9,26-5,36) • (9,26-8,06)) =? (9 , 26 • 4,16 • 3,9 • 1,2) =? 180,28? 13,42. Як бачите, результат на вісім сотих відрізняється від отриманого на другому кроці - це результат заокруглень, використаних при розрахунках на третьому, четвертому та п'ятому кроках.