Як вирішувати диференціальні лінійні рівняння.

Диференціальне рівняння, в яке невідома функція і її похідна входять лінійно, тобто в першій мірі, називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.
Інструкція
1
Загальний вид лінійного диференціального рівняння першого порядку такий: y? + P (x) * y = f (x), де y - невідома функція, а p (x) і f (x) - деякі задані функції. Вони вважаються безперервними в тій області, в якій вимагається проинтегрировать рівняння. Зокрема, вони можуть бути і константами.
2
Якщо f (x)? 0, то рівняння називають однорідним; якщо ні - то, відповідно, неоднорідним.
3
Лінійне однорідне рівняння може бути вирішено методом поділу змінних. Його загальний вигляд: y? + P (x) * y = 0, отже: dy/dx = -p (x) * y, звідки випливає, що dy/y = -p (x) dx.
4
Інтегруючи обидві частини отриманого рівності, отримуємо:? (Dy/y) = -? P (x) dx, тобто ln (y) = -? P (x) dx + ln (C) або y = C * e ^ (-? p (x) dx)).
5
Рішення неоднорідного лінійного рівняння можна вивести з рішення відповідного однорідного, тобто того ж самого рівняння з відкинутою правою частиною f (x). Для цього потрібно замінити константу C в рішенні однорідного рівняння невідомої функцією? (X). Тоді рішення неоднорідного рівняння буде представлено у вигляді: y =? (X) * e ^ (-? P (x) dx)).
6
Дифференцируя цей вираз, одержимо, що похідна від y дорівнює: y? = (X) * e ^ (-? P (x) dx) -? (X) * p (x) * e ^ (-? P (x) dx) .Подставів знайдені вирази для y і y? в вихідне рівняння і спростивши отримане, легко прийти до результату: d?/dx = f (x) * e ^ (? p (x) dx).
7
Після інтегрування обох частин рівності воно отримує вигляд:? (X) =? (F (x) * e ^ (? P (x) dx)) dx + C1.Такім чином, шукана функція y виразиться у вигляді : y = e ^ (-? p (x) dx) * (C +? f (x) * e ^ (? p (x) dx)) dx).
8
Якщо прирівняти постійну C нулю, то з виразу для y можна отримати приватне рішення заданого рівняння: y1 = (e ^ (-? P (x) dx)) * (? F (x) * e ^ (? p (x) dx)) dx) .Тоді повне рішення можна буде висловити у вигляді: y = y1 + C * e ^ (-? p (x) dx)).
9
Іншими словами, повне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння першого порядку дорівнює сумі його приватного рішення і загального рішення відповідного однорідного лінійного рівняння першого порядку.