Як знайти максимальне значення функції.

Нехай дана деяка функція, задана аналітично, тобто виразом вигляду f (x). Потрібно дослідити функцію і обчислити максимальне значення, яке вона приймає на заданому відрізку [a, b].
Інструкція
1
Перш за все потрібно встановити, чи визначена задана функція на всьому відрізку [a, b] і якщо у неї є точки розриву, то якого роду ці розриви. Наприклад, функція f (x) = 1/x зовсім не має ні максимального, ні мінімального значення на відрізку [-1, 1], оскільки в точці x = 0 прагне до плюс нескінченності справа і до мінус нескінченності зліва.
2
Якщо задана функція - лінійна, тобто задана рівнянням виду y = kx + b, де k? 0, то вона на всій своїй області визначення монотонно зростає, якщо k> 0; і монотонно убуває, якщо k <0. Отже, максимальним її значенням на будь-якому заданому відрізку буде f (b), якщо k> 0; і f (a), якщо k <0.
3
Наступний крок - дослідження функції на екстремуми. Навіть якщо встановлено, що f (a)> f (b) (або навпаки), функція може досягати великих значень в точці максимуму.
4
Щоб знайти точку максимуму, необхідно вдатися до допомоги похідної. Відомо, що якщо в точці x0 функція f (x) має екстремум (тобто максимум, мінімум або стаціонарну точку), то її похідна f? (X) в цій точці звертається в нуль: f? (X0) = 0.Для визначення , який із трьох видів екстремуму знаходиться у виявленій точці, потрібно дослідити поведінку похідної в її околицях. Якщо вона змінює знак з плюса на мінус, тобто монотонно убуває, то в знайденій точці початкова функція має максимум. Якщо похідна змінює знак з мінуса на плюс, тобто монотонно зростає, то в знайденій точці початкова функція має мінімум. Якщо ж, нарешті, похідна не міняє знака, то x0 - це стаціонарна точка для вихідної функції.
5
У тих випадках, коли обчислити знаки похідної в околицях знайденої точки складно, можна скористатися другою похідною f (x) і визначити знак цієї функції в точці x0: - якщо f (x0)> 0, то знайдена точка мінімуму; - якщо f (x0) <0, то знайдена точка максимуму; - нарешті, якщо f (x0) = 0, то знайдена стаціонарна точка.
6
Для остаточного вирішення завдання необхідно вибрати максимальне з значень функції f (x) на кінцях відрізка і у всіх знайдених точках максимуму.