Як знайти відстань від точки до площини.

Відстань від точки до площині дорівнює довжині перпендикуляра, який опущений на площину з цієї точки. Все подальші геометричні побудови і вимірювання засновані на цьому визначенні.
Вам знадобиться
  • - лінійка;
  • - креслярський трикутник з прямим кутом;
  • - циркуль.
Інструкція
1
Щоб знайти відстань від точки до площині : • проведіть через цю точку пряму лінію, перпендикулярну цій площині ; • знайдіть підставу перпендикуляра - точку перетину прямої з площиною; • виміряйте відстань між заданою точкою і підставою перпендикуляра.
2
Для знаходження відстані від точки до площині методами нарисної геометрії: • виберіть на площині довільну точку; • проведіть через неї дві прямі (лежачі в цій площині ); • відновіть перпендикуляр до площині , що проходить через цю точку (побудуйте пряму, перпендикулярну одночасно обом пересічним прямим); • проведіть через задану точку пряму паралельну, побудованому перпендикуляру; • знайдіть відстань між точкою перетину цієї прямої з площиною і заданої точкою.
3
Якщо положення точки задано її тривимірними координатами, а положення площині - лінійним рівнянням, то, щоб знайти відстань від площині до точки, скористайтеся методами аналітичної геометрії: • позначте координати точки через x, y, z, відповідно (х - абсциса, y - ордината, z - аппликата); • позначте через А , В, С, D параметри рівняння площині (А - параметр при абсциссе, В - при ординате, С - при аплікат, D - вільний член); • обчисліть відстань від точки до площині за формулою: s = | (Ax + By + Cz + D)/? (A? + B? + C?) |, де s - оасстояніе між точкою і площиною, || - позначення абсолютного значення (або модуля) числа.
4
Прімер.Найдіте відстань між точкою А з координатами (2, 3, -1) і площиною, заданої рівнянням: 7х-6У-6z + 20 = 0.Решеніе.Із умов задачі випливає, що: х = 2 , у = 3, z = -1, A = 7, B = -6, C = -6, D = 20.Подставьте ці значення в вищенаведену формулу.Получітся: s = | (7 * 2 + (- 6) * 3 + (- 6) * (- 1) +20)/? (7? + (- 6)? + (- 6)?) | = | (14-18 + 6 + 20)/11 | = 2. Відповідь: Відстань від точки до площині одно 2 (умовним одиницям).
В шкільних завданнях з геометрії часто зустрічається завдання знайти відстань від точки до прямий . Багато школярів, зіткнувшись з таким завданням, впадають в ступор і не знають, що їм робити, з чого почати вирішення задачі. Важливо пам'ятати, що відстань від точки до прямий визначається довжиною перпендикуляра.
Інструкція
1
Для того, щоб знайти відстань від точки до прямий , вам необхідний перпендикуляр від цієї точки до заданої прямий .
2
Подивіться на креслення, який ви намалювали за умовою завдання.
3
Якщо потрібний перпендикуляр від точки до прямий вже присутній на кресленні (наприклад, в умові сказано, що це перпендикуляр, висота, заданий кут в 90 градусів), знайдіть його довжину. Вам можуть бути задані довжини інших сторін, величини кутів, властивості фігури. Використовуйте теореми геометрії.
4
Якщо ви бачите, що необхідний перпендикуляр присутній, але про нього не відомо, що це перпендикуляр, доведіть, що він є саме перпендикуляром. Потім знайдіть його довжину.
5
Якщо необхідного перпендикуляра ще немає, побудуйте його. Будьте уважні і обережні при побудові, пам'ятайте про властивості перпендикуляра. Побудувавши перпендикуляр, подумайте, як можна знайти його довжину. Знайдіть довжину перпендикуляра.
Зверніть увагу
Не плутайте висоту з медианой і биссектрисой. У загальному випадку ці прямі не збігаються.
Корисна порада
В деяких випадках побудова перпендикуляра не потрібно. Іноді знайти висоту фігури можна, виходячи з властивостей фігури і застосувавши формулу знаходження площі. Це в тому випадку, якщо відстанню від точки до прямої є саме висота фігури.